【巧用构造法求数列的通公式】高中数学必背公式大全

时间：2019-05-30 03:20:27　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　我们在学习数列时，求数列的通项公式非常重要，它是我们研究数列性质的一个重要工具，求数列的通项公式的方法很多，运用构造法，构造出一个熟悉的等差或等比数列，再运用等差或等比数列的有关公式来求解也是求数列的通项公式的常用方法。现我们举例说明。
　　例1 在数列{an}中，已知a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式an。
　　解：∵an+1=2an+1∴an+1+1=2(an+1)，即{an+1+1}是首项为a1+1=1+1=2，公比为q=2的等比数列。
　　∴an+1=2·2n-1=2n。
　　∴an=2n-1。
　　评注：本题通过变形构造出一个等比数列进而求得通项。一般地，若给出递推公式是an+1与an的线性关系an+1=pan+q,可以构造以p为公比的等比数列，构造的规律是设定系数λ，使an+1+λ=p(an+λ)其中λ可用待定系数法求得λ=qp-1。另外，在求数列的通项公式时，有时我们也可以构造与前n项和Sn有关的等差或等比数列来解决。
　　例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）,求数列{an}的通项公式。
　　解：由Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2），得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）。
　　∴an+1=2an（n≥2）。
　　又a1=S1=1，a2=S2-S1=1，
　　∴an=1×2n-1(n≥2)。
　　经验证，当n=1时也成立。
　　∴an=2n-1。
　　例3 已知在数列{an}中，a1=1，an>0,且Sn=12an+1an，求通项an。
　　解：∵Sn=12an+1an
　　=12Sn-Sn-1+1Sn-Sn-1，
　　∴Sn+Sn-1=1Sn-Sn-1,即S2n-S2n-1=1。
　　[HJ1.8mm]
　　∴数列{S2n}为等差数列，且首项为S21=1，公差为1。∴S2n=1+(n-1)=n。
　　又∵an>0，∴Sn=n。
　　当n=1时，a1=S1=1。
　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-n-1。
　　经验证n=1适合，综上得an=n-n-1。
　　例4 已知在数列{an}中，Sn+1=4an+2且a1=1。
　　（1）设bn=an+1-2an求证：数列{bn}是等比数列；
　　（2）设cn=an2n,求证：数列{cn}是等差数列；
　　（3）求数列{an}的通项公式。
　　解：（1）∵Sn+1=4an+2，
　　∴Sn=4an-1+2。
　　这两式相减，得an+1=4an-4an-1。
　　整理，得an+1-2an=2（an-2an-1）。
　　∴bnbn-1=an+1-2anan-2an-1=2。
　　故数列{bn}是等比数列，且首项为b1=a2-2a1=3，公比为2，bn=3·2n-1。
　　（2）∵cn-cn-1=an2n-an-12n-1=an-2an-12n=bn2n=3·2n-12n=32，
　　∴{cn}是首项为c1=12，公差为32的等差数列，
　　且cn=12+32（n-1）=3n-22。
　　（3）由（2），知cn=an2n=3n-22。
　　∴an=（3n-2）·2n-1。
　　通过以上例子我们可以发现，运用构造法求数列的通项公式是一种非常重要的方法，其关键是分清题目的结构特点，把隐藏的条件简单化，明了化，为解决问题创造条件。
　　（作者单位：江西省新建二中）

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