【一道不等式题的多种解法】简单不等式解法列题

时间：2019-05-30 03:20:29　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　对于一个数学问题，若能从不同角度多思多想，激活思维的源泉，往往能获得多种不同的解题途径.下面仅以一道不等式题的求解为例加以说明，以供同学们参考。 　　题目：设a，b，c均为正数，且a+b+c=1。求证：a2+b2+c2≥13。
　　证法1: 函数思想。
　　∵a+b+c=1，∴a+b=1－c。
　　又a2+b2≥12(a+b)2=12(1－c)2，
　　∴a2+b2+c2≥12(1－c)2+c2=3c2－2c+12。
　　当c=－－22×3=13时，a2+b2+c2取得最小值3×[JB（（]13[JB））]2－2×13+12=13。
　　∴a2+b2+c2≥13。
　　评注：利用重要不等式a2+b2≥12(a+b)2及a+b+c=1，消去a、b，将a2+b2+c2变为c的二次函数，再求其最小值。
　　证法2: 判别式法。
　　∵ a+b+c=1，∴c=1－a－b。
　　∴a2+b2+c2－13= a2+b2+(1－a－b)2－13
　　= 2a2+(b－1)a+b2－b+13。
　　∵ Δ=(b－1)2－4(b2－b+13)=－3[JB（（]b－13[JB））]2≤0，
　　∴a2+b2+c2－13≥0。
　　∴a2+b2+c2≥13。
　　评注：利用条件a+b+c=1消去一个未知量c，得关于a的二次三项式，再用判别式法证明。
　　证法3: 比较法。
　　∵a+b+c=1，
　　∴a2+b2+c2－13=a2+b2+c2－13( a+b+c)2
　　=13[3a2+b2+c2－( a+b+c)2]
　　=13(2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac)
　　=13[((a－b)2+(b－c)2+(c－a)2)]≥0。
　　∴a2+b2+c2≥13。
　　评注：注意到a2+b2+c2≥13左、右次数的差异，将右边的分子1用( a+b+c)2代换变为齐次式，再用比较法证明。
　　证法4: 分析法。
　　要证明a2+b2+c2≥13，
　　即证 3(a2+b2+c2)≥1, 又a+b+c=1，
　　即要证 3(a2+b2+c2)≥ ( a+b+c)2，
　　即证 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac。
　　这由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
　　三式相加即得。
　　∴a2+b2+c2≥13。
　　评注：注意消除左、右两端次数的差异,用分析法证明。
　　证法5: 综合法。
　　∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
　　∴ 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac。
　　∴ 3(a2+b2+c2)≥ ( a+b+c)2。
　　又 ∵ a+b+c=1,
　　∴3(a2+b2+c2)≥1。
　　∴a2+b2+c2≥13。
　　评注：用分析法寻找思路,用综合法证明。
　　证法6: 放缩法。
　　设a=13+x,b=13+y,c=13+z。
　　∵a+b+c=1,
　　∴x+y+z=0。
　　∴a2+b2+c2
　　=13+x2+13+y2+13+z2
　　=13+23(x+y+z)+x2+y2+z2≥13。
　　评注: 注意到a+b+c=1,先用平均值代换,再用综合法、放缩法证明。
　　小结:本题是证明条件不等式,如何利用条件是解题的关键。选择什么样的方法去证明不等式,要针对具体问题,进行具体分析，灵和地运用各种证法。这一道题的六种证法很好地锻炼了学生的思维,开拓了学生的视野,激发了学生的学习兴趣,培养了学生的创新精神和实践能力。
　　（作者单位：江西省新建二中）

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