线性规划问题 [揭开线性规划问题的“神秘面纱”]

时间：2019-04-15 03:22:37　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　线性规划问题研究的是线性目标函数在线性的约束条件下取最大值或最小值问题。一般地，它的数学模型是　　已知a11x1+a12x2+…+a1mxm≤b1(或“≥”或“=”)
　　a21x1+a222x2+…+a2mxm≤b2(或“≥”或“=”)
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　　an1x1+a2n2x2+…+anmxm≤bn(或“≥”或“=”)
　　其中aij(i=1,2,…，n,j=1,2,…，m), bi（i=1,2,…,n）都是常量， xj(j=1,2,…,m)是非负量，求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值，这里cj(1,2,…，m)是常量。
　　它的应用：第一种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务。第二种类型：给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
　　由于线性规划的题型比较固定，大多数同学都认为线性规划的题目十分简单。但是对于隐含性的问题，同学们只能感叹“想不到！”俗话说：“不识庐山真面目。”但是只要驱散它周围的云雾，揭开它的“神秘面纱”，你便会看到庐山真面目了。那么，如何来揭开这层“神秘面纱”呢下面是举例说明，希望对同学们有所启发。
　　在必修5中，有这样一个问题1：
　　已知1≤x+y≤3
　　-1≤x-y≤1′的取值范围。这一题，大多数同学都是把条件进行相加减。然后算出x和y的范围，最后确定取值范围，但是这样做会导致范围的扩大或缩小。但如果采用线性规划知识来做，这道题目则显得十分简单。那么有的同学会疑惑：到底怎么看出它可以用线性规划来解呢？我认为，做题时要保持清醒的头脑，仔细观察此类题目的特征与结构，若发现题目的条件是有关两个未知量的不等关系，并且求的是变量的线性组合的最值或取值范围之类，那就应该大胆地尝试用线性规划来探索解题思路（形），不能被题目的表面所迷惑了，以为只能采用不等式知识进行运算（数）。
　　带着这种想法去解题，往往可以达到事半功倍的效果。例如问题2：记等差数列前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。乍一看，此题与线性规划无关，但只要把已知条件用a1和d表示出来，你就会豁然开朗。即已知4a1+6d≥10
　　5a1+10d≤15，求a4=a1+3d看作目标函数。显然这就是简单的线性规划问题了。此过程把数列问题巧妙地转化为线性规划问题是最大难点。如果有意识地带着上述讲到的想法去做，显然你就会发现一个上述的特征。
　　在 “希望杯”数学竞赛的培训练习中，问题3：若2sinα-cosβ=2，求sinα-2cosβ=2的取值范围。这题显然没有上一题那样具备了鲜明的线性规划问题的特征，但这个特征是隐含的，从-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1隐含条件中，可以看出：如果把sinα设为x，cosβ设为y，从而可得：
　　已知可行域2x-y=2
　　-1≤x≤1
　　-1≤y≤1，求目标函数Z＝x+2y的范围。显然，这又可以用线性规划来解了。于是，这层“神秘面纱”就自然被揭开了。
　　从上述的三题中，可以发现：这些题目总是想把自己装饰起来，多添加些花样，迷惑大家。这样的题目还有许多，又如问题4：已知△ABC的三边a，b，c，满足b+c≤2a，c+a≤2b，求ba的取值范围。从现有知识来看，即使通过求出a、b的范围来求ba的范围，容易导致范围的扩大或缩小，从而便干脆把b/a看成一个整体。这又转为一个线性规划的问题了。
　　总结这四题中得出了一个重要结论，线性规划问题并不一定简单，它善于装饰自己，就像“披着羊皮的狼”，导致我们产生假象，从而陷入泥潭走不出来。所以我们要保持清醒的头脑，观察它的结构，找它的隐含条件，揭露它的真面目。不论它怎么欺骗我们的眼睛，但它总是有“狐狸尾巴”可寻的。不要被假象迷惑，揭开这层“神秘面纱”，看清它的“庐山真面目”。

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