平面向量问题的几何解法和几何问题的平面向量解法|平面向量公式

时间：2019-04-30 03:21:43　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　高考中对平面向量内容的考查，常以选择题、填空题的形式出现.而解选择题、填空题的基本要求和策略是：准确、迅速.向量特殊的代数与几何身份决定了其特殊的功能，我们在备考复习中解决此类问题，经常会训练学生学会搭建一个桥梁建立起平面向量中代数与几何的联系，应用几何方法解决平面向量问题，使问题简单化，从而顺利、快捷、准确地解决问题.另外，我们也注意到，应用平面向量求解几何问题，可避开一些繁琐的运算，同样能使问题简单化.下面通过例子加以说明.
　　一、利用几何解法解决平面向量问题
　　图1
　　【例1】已知单位向量a ，b的夹角为π3，则∣a + 2b∣= .
　　解：由已知条件，根据平面向量的平行四边形法则，得出图1.
　　则求∣a + 2b∣的值实际上是求平行四边形中线段OC的长.
　　过C作CD⊥OA，垂足为D，易得AD=1，CD=3，所以OC=7，
　　即∣a + 2b∣=7.
　　类似的方法可以解决如下问题：
　　（1）若向量满足∣a∣=∣b∣=1，ab = - 12，求∣a + 2b∣的值.
　　（2）已知平面向量a、b满足∣a∣=1,∣b∣=1,a与b的夹角为π3,以a、b为邻边作平行四边形,求此平行四边形的两条对角线中较长的一条的长度.
　　图2
　　【例2】若两个非零向量a、b,满足∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣,则向量a + b与a - b的夹角为 .
　　解：由向量的和与差的平行四边形法则和三角形法则，
　　可得∣a + b∣，∣a - b∣恰好是以a、b为邻边的平
　　行四边形OACB的两对角线的长度.
　　∵∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣，
　　∴此四边形OACB为矩形.
　　∴所以向量a + b与a - b的夹角即为∠ADC，易
　　知∠ADC=2π3.
　　图3
　　【例3】设向量a = （cos23° ,cos67°）和b = (cos68°,cos22°),u =a + tb (t∈R)，则∣u∣的最小值是 .
　　解：向量a = （cos23° ,cos67°）和b = (cos68°,cos22°) 可以写成:
　　a = （cos23° ,sin23°），b = (cos68°,sin68°)，
　　两向量a、b分别对应于单位圆上（如图3）的向量OA 、OB ，显然∠AOB=45°，
　　根据∣u∣的几何意义，求∣u∣的最小值实际上是求以向量a 和向量 tb
　　为邻边的平行四边形的对角线的最小值.过A作AD∥OB，过O作OD⊥AD
　　于D，很显然，以AO、AD为邻边所作的平行四边形OADC中线段OD的
　　长度即为∣u∣的最小值，易得∣OD∣=22，故∣u∣的最小值为22.
　　【例4】已知向量 OB =（2，0），向量OC =(2，2),向量CA =（2cosθ，2sinθ），则向量 OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（）.
　　A.［0，π4］ B.［π4，5π12］
　　C.［5π12，π2］ D.［π12，5π12］
　　图4
　　解：如图4，向量CA的终点A在以点C为圆心，半径为2的圆上，
　　OA1 、OA2 是圆的两条切线，切点分别为A1 、A2 ，在Rt△OCA1中，
　　∣OC∣=22 ， ∣CA1∣=2，
　　∴∠COA1=π6,
　　∠COA2=∠COA1=π6.
　　∵∠COB=π4，
　　∴∠A1OB=π4-π6=π12,
　　∠A2OB=π4+π6=5π12.
　　∴向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是［π12，5π12］,故选D.
　　【例5】 (2011全国卷第12题)设向量a,b,c满足∣a∣=∣b∣=1,ab =-12,
　　〈a-c,b-c〉=60°,则∣c∣的最大值等于( ).
　　A.2 B.3 C.2 D.1
　　图5
　　解:如图5,设△ABD中, AB =a , AD =b,∠DAB=120°.
　　作△ABD的外接圆⊙O,由题意得⊙O的半径为1.
　　在圆上任取一点C,设AC=c,则CD =b-c,CB=a-c,
　　由几何知识易知,∠BCD=60°,即〈a-c,b-c〉=60°,
　　由于C点的任意性,很显然,当AC过圆心,即AC为直径时,
　　AC的长为最大,即∣c∣为最大,故∣c∣的最大值为2,选A.
　　二、利用平面向量解决几何问题
　　图6
　　【例6】如图6，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点.
　　证明：设BE、CF相交于一点H，并设AB =b,AC =c,AH =h,
　　则BH =h-b,CH =h-c,BC =c-b.
　　∵BH ⊥ AC,CH ⊥AB ,
　　∴（h-b）?c=0，（h-c）?b=0.
　　∴（h-b）?c=（h-c）?b.
　　∴h?（c-b）=0，即AH?BC=0.
　　∴ AH⊥BC ，又AH与AD重合，
　　∴AD、BE、CF相交于一点.
　　图7
　　【例7】证明：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
　　已知：如图7，直线l垂直于平面α内的两条相交直线m,n．
　　求证：l⊥α．
　　证明：在平面α内作不与m、n重合的任意一条直线g，在l,m,n,g上取非零向量l，m,n,g,
　　在平面α内，因为m、n相交，所以向量m、n不平行．
　　由向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn．
　　因为l?m=0，l?n=0，
　　所以l?g=xl?m+yl?n=0．
　　因此l⊥g，由于直线g的任意性，故有l⊥α．
　　(责任编辑金铃）

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