[二次函数区间最值的求解方法] 二次函数在闭区间上的最值问题
时间：2019-02-23 03:26:26 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
众所周知,影响二次函数在某区间上最值的是区间和对称轴的位置?郾 本文就区间和对称轴动与静的变化进行分类,探索求最值的方法?郾 一、轴定区间定 这种形式的二次函数的对称轴是固定的,区间也是固定的,因此求它们的最值,只要直接应用单调性即可?郾
例1 求函数f(x)=ax2-2ax+1(a≠0)在[0,2]上的最大值?郾
解析 易知函数f(x)的对称轴是x=1∈[0,2]?郾
当a>0时,其图象开口向上,[f(x)]max=f(0)=f(2)=1;
当a0,其图象是顶点为(-■,■),对称轴为x=-■,开口向上的抛物线?郾 当x-■时,f(x)是增函数?郾
结合图象很容易知道f(x)在区间[m,n]上的最大值或最小值:
(1) 当-■∈[m,n]时,f(x)的最小值是f(-■)=■,f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者;
(2) 当-■?埸[m,n]时,若-■2,即t>4时,g(t)=[f(x)]min=f(t-2)=t2-8t+8?郾
故g(t)=t2-6t+1 (t4)?郾
三、轴动区间定
这种形式的二次函数的对称轴是变动的,而区间是固定的,要求其最值,需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定?郾
例4 如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a>b)?郾 在AB、AD、CB、CD上,分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y?郾
(1) 写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;
(2) 求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?
解析 (1) 易知△AEH≌△CFG,△BEF≌△DHG,则
y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF
=ab-2・■x2-2・■(a-x)(b-x)
=-2x2+(a+b)x(00,则有f(1)=5a+a2-1=5,解得a=1?郾
综上可知a=2-■或a=1?郾
例6 已知y2=4a(x-a)(a>0),则当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求实数a的值?郾
解析 将y2=4a(x-a)代入S中,得S=(x-3)2+4a(x-a)=x2-2(3-2a)x+9-4a2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,则S是关于x的二次函数,其定义域为x∈[a,+∞),对称轴为x=3-2a,顶点为(3-2a,12a-8a2),图象开口向上?郾
若3-2a≥a,即0 当x=3-2a时,Smin=12a-8a2=4,解得a=1或a=■;
若3-2a1,则
当x=a时,Smin=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4,解得a=5?郾
综上可知a=1或a=■或a=5?郾
点评 利用二次函数的最值确定参数的值,一定要注意取得最值时的位置,并要加以验证才可以?郾
(编辑 孙世奇)
