【例说数学的奇异之美】数学的奇异美
时间：2019-03-23 03:33:22 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
当我们在数学的城堡中行走的时候，你体验到的也许是逻辑结构的产生，问题解决方法的获得，思想方法的进步，那你除了这些，有没有特别的感受呢?数学有一种美是隐秘的，它悄无声息地散发美的芳香，有种神秘奇异的味道。你想没想过数学神秘而奇异的一面?它又会给我们的路程指引什么方向呢?英国数学家和哲学家罗素曾说过：“数学，如果正确地看它，则具有至高无上的美――正像雕刻的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识――这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”数学的奇异之处不仅仅是表面的感观，而且是要用思维来体会的。高中数学课程标准强调，“让学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观”。也就是说数学已经成为一种文化，而理解和感受这种文化非常必要，同学们有这样的体会吗?如果还没有，那就让我们来领略数学奇异的风采吧!
案例欣赏――解决问题
看到杨辉三角，同学们有什么感觉吗?是不是隐约的感到它会有什么规律呢?
(1)这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和，
(2)从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5；第三列是1，3，6，10；第四列是1，4，10；……可以发现第一列前N项和恰好是第二列的通项公式。以下如此类推……
(3)这行数是第几行，就是第二个数加一。
看罢，我们不得不叹服它的神奇吧?也就是这一特点吸引了无数人对它的痴迷，瞧，它的魅力无限吧!
勾股定理问题
一谈到勾股定理，同学们一定不陌生，但是它却蕴含着绝对的奇异之美，你了解吗?最值得称道和引以为傲的是，我国赵爽对于勾股定理的证明，他用“勾股圆方图”，即用面积的出入相补法，其实就是我们现在所说的割补法证明了勾股定理。(如图2)
它是以一个直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，面积是a?+b?。如果将合并的两个三角形移补到图中的位置，将会得到以原直角三角形的弦为边的正方
同学们有没有发现，把第二个数列乘以2，但两个不同的数列，最终的结果竟然是完全一样的!之所以这样是因为它们是无穷数列!我们不禁感叹，数学的无穷数列之奇特!如果我们把这个无穷的数列截项，改变成有穷的数列，则没有我们所看到的两个数列相等的现象了。这就是无穷的魅力!
同学们，你们有没有发现呢?我们所学的数学，是不是思维如艺术般巧妙，隐匿的规律能给人以无尽的回味?
完全数
古希腊的数学家毕达哥拉斯，创立了毕达哥拉斯学派，他们发现了完全数的存在，从而揭开了完全数神秘的面纱。他们发现，6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个：1，2，3，6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，而把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身!28也是一个完全数，它的真因数有1，2，4，7，14，而1+2+4+7+14正好等于28。若一个自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身，这种数就叫做完全数。完全数有许多奇特的性质：
1、它们都能写成连续自然数之和。
如：6=1+2+3：
28＝1+2+3+4+5+6+7：
496=1+2+3+……+30+31：
2、它们的全部因数的倒数之和都是2。
本来是一系列不相关的数字，但是却因为数学的特殊的性质而联系在一起，从而变幻出不同的看似凑巧的规律来。从这一发现，同学们有没有体验到数学的变幻莫测呢?有没有体验到数字彼此之间的千丝万缕的联系呢?
几何代数化
自从毕达哥拉斯学派遇到了数学的第一次危机，古希腊人对几何进行了深入的研究，那时人们忽略回避代数，偏向研究几何，两极分化严重。此时笛卡尔另辟蹊径，主张“采取几何学中一切最好的东西，互相取长补短。”他在平面内引进坐标，借助坐标在平面上的点和有序实数对建立一一对应，将代数方程与一条平面曲线对应，从而让极端化为和谐。同学们想想，原本不相关的两个方向。因为一个独特方法的引入，化迟滞不前为共同发展，面对这样奇妙的构想，伟大的创造，我们是不是也有所感悟，感受到数学的奥妙无穷，感受到数学家的聪明智慧，感受到人类创造的力量!
安全启示――理解问题
同学们，经历一次美感体验，能激发我们学习数学的兴趣，激发我们创造的欲望，它一方面打破了原有数学理论的统一性，另一方面为更高层次上建立的新数学理论奠定了基础。数学原有的习惯和统一格局被新思想、新理论、新方法所突破，带给人们出乎意料，超乎想像的新颖和奇特的结果。即旧观念瞬时的崩溃坍塌，换来人却是认识的深化和思维的重大发展。
欣赏杨辉三角的完美展现，我们可以领悟到数列的精髓，有助于我们理解数列的有关内容，比如数列的递推方法，数列的通项公式的推导，前项后项的关系等等。数列固有的规律性突破了我们原有的思维模式，开拓了更为广阔的视野，这样对于我们学习的数列知识，起到了良好的催化作用。
欣赏勾股定理的独特证明方法，可以给我们留出思考空间，我们可以试着重新演绎这一推导过程。通过查阅资料来对这一定理的多种证明方法进行总结归纳。也可以写文献综述，在这一系列活动过程中，我们不仅思维有所拓展，而且把不同的方法进行分析比较，体会到不同的数学思想方法。案例2，不仅能让我们领略到它的思维独特，而且它所渗透的数形结合的数学思想更让我们受益匪浅。比如，我们初中学的数轴，它把点与数的对应关系揭示出来，是学习相反数，绝对值，负数的重要工具，它能帮助我们直观的理解。数形结合在高中数学学习中也贯穿始终，比如，学习集合要用维恩图：学习函数的奇偶性，要看它的图像是否关于原点或坐标轴的对称：学习函数的单调性，就看它的图像升降和拐点：学习函数的周期性，则看它的图像是否规律性的重复或重叠。一个数形结合，顷刻可以化复杂为简单，化腐朽为神奇。
欣赏无限数列的美妙，能让我们更能理解极限思想，这对于理解教材是一个深化，对于实际中的学习问题也有很大的影响。比如。我们已学习的圆的面积公式的推导中，就可以采用“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。即把一个圆分割为完全相同的小扇形，份数越来越多，不断地分下去，最后能拼成长方形。“份数越来越多”到“一直分下去”的过程就是无限的思想。拼成长方形则是一个极限的思想；在学习无限不循环小数时。我们可以用有理数逼近来表示无理数，这体现了无限逼近的思想。有限中认识无限，而无限却不等同于极限，对于这一点，我们要认真体会。
欣赏完全数的奇妙组合，能让我们深刻体会数学所蕴含的美，激发我们对于数学的探索热情和学习的兴趣。我们可以更多地去了解发现它的毕达哥拉斯学派。该学派盛行于古希腊。他们有独特的审美观。他们认为圆和球最美，黄金分割最美，认为数是和谐的。他们从数学与声音来研究音乐，发现乐器的琴弦在一定张力作用下。频率与弦长是成反比的。他们对数学有着浓郁的兴趣。这种精神也可以感染到我们。
欣赏笛卡尔的神奇创造。让我们理解了一分耕耘一分收获，努力定会成功的数学精神，让我们理解了数学的相互联系，相互作用的特点，让我们理解了求变求新的品质的珍贵所在。笛卡尔除了开创解析几何，一生作出了多方面的贡献，他在1634年写的《宇宙学》，包含当时被教会视为“异端”的观点：他提出地球自转和宇宙无限；他提的漩涡说是当时最权威的太阳起源理论：他还提出了光的本性是粒子流的假说，并认为在广袤无垠的太空中存在着极其精细的以太。直到二三百年以后，笛卡尔的这些观点仍具有很高的研究价值。我们对这些伟大的数学家不只要心存崇拜他们的精神，而且要学习付诸于行动。
在这一古老而神奇的数学城堡里，不懂得审美的人对它敬而生畏，懂得审美的人对它心醉神迷；不懂得审美的人在崎岖的巷道中迷失煎熬，懂得审美的人在倾心体验中受教。一切如沐春风，潇洒自如。城堡里拥有类比美，不变美，相似美，简洁美等等许多需要我们去探索和发掘的独特气质。所以，我们要行动起来，来陶冶我们的情感，丰富我们的内心，善于发现数学的美，感受数学的美，让我们的数学梦想不再枯燥无味，而是变得色彩斑斓!
你还等什么呢?行动吧!
(作者单位：江西师范大学课程与教学研究所)
