小题大做小题大做,借题发挥

时间：2019-04-07 03:19:26　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　数学教学离不开例题习题，在进行习题讲解时，可以对其进行全方位的探索，挖掘潜在功能，使一题多变，一题多用，多题组合，从而揭示不同知识点间的相互联系，使知识系统化．同时也有助于对学生创新思维能力的培养，提高学生解决问题的能力．
　　已知：如图1，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和CAN． D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE．求证：DE=FE.
　　本题来源于浙教版八下课本第119页第6题（C组），是在学生学习了三角形的中位线以后所配套的一个书本练习．解此题的关键是由已知条件联想到三角形的中位线，构造出分别以DE，EF为中位线的三角形△BCM和△BCN，从而把问题转化为如何去说明MC=NB，再结合条件，利用三角形全等的知识解决这个问题．此题考查的是几何图形识别、分析以及推理的基本知识和基本技能，以及化归与转化的数学思想与方法考查. 即学生能否由中点→中位线→全等的思维方法去发现解决问题的突破口，重点考查了等边三角形、三角形全等以及三角形中位线的有关知识．
　　下面以此题的图形为基本模型，可以根据不同层次的学生及学生学习的各个阶段进行解题发挥，加深知识间的联系，使之融会贯通．
　　一、深入研究，探索结论
　　首先是在不改变条件的情况下继续探究新的结论．如图2，求∠DEF的大小．连结BN，CM，由△ACM和△ANB全等，再通过三角形内、外角和的知识求得直线BN与MC相交所成的角的度数，继而求得∠DEF的度数．体现转化的思想．通过挖掘习题，从不同角度、不同侧面考虑问题，把学生的思维引到一个较广阔的空间，从而获得更多的结论．这样可以使不同层次的学生得到不同的发展，培养学生思维的广度和深度．
　　二、改变条件，融会贯通
　　（1）如图3，当MA垂直平分CN时，请判断△ABC的形状．可以连结MC，MN，利用线段中垂线的定理和全等的知识来解决，也可以直接利用等边三角形的“三线合一”和平角的知识来解决．
　　（2）如图4，连结MN，当DE=MN时，MA垂直平分CN吗？并求出∠BAC的度数. 利用三角形中位线的性质，把已知条件DE=MN转化为MC=MN，然后利用三角形全等、等腰三角形“三线合一”的性质，从而解决问题MA垂直平分CN．至于求∠BAC的度数的方法与第1题的方法一样．
　　（3）如图5，在△ABC中，当∠ACB=90°、∠BAC=30°时，连结MN交AB于点F. 探究线段NF与MF的数量关系.
　　发觉隐含的条件NA⊥AB是关键，可以通过过点M作AB的垂线，利用三角形的全等便可以解决．
　　这样做的目的是在原有题目的基础上借助题中条件的变化，将知识点层层深入，增加难度，帮助学生提高分析问题、解决问题的能力，从而引导学生灵活运用知识结构中相互之间的联系，从变化中比较、归纳，从中找出解题规律．
　　三、改变图形，触类旁通
　　1. 旋转图形，探究结论
　　在原题的条件下，如图6，如果正三角形CAN绕点A旋转，使AC与AM重合，那么MC＝BN吗？旋到任意位置呢？目的是使题型变为动态问题，让图形动起来，形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题，可以结合学生掌握的程度和不同年级作进一步的挖题，克服思维定势和图形定势．
　　2. 改变等边三角形的条件，探索结论
　　如图7，以△ABC的边AB，AC为边向三角形外作正方形ABDE和正方形CAGF．连结CE，BG．问：（1）EC与BG还相等吗？（2）猜想EC与BG之间的位置关系，并证明你的猜想．
　　把等边三角形改为正方形，本质上还是运用全等知识解决．设计目的是通过辨析，揭示问题本质，解决此题的方法还是运用了全等．考查学生对知识的灵活运用，使知识进一步理解和内化．引导学生灵活运用知识结构中相互之间的联系，培养解题能力和应变能力．
　　如图8，把上题的“正方形ABDE，CAGF”改为“矩形ABDE，CAGF（长宽不相等）”，那么上面两个结论还成立吗？如果不成立，还需要添加什么条件？
　　两个矩形长和宽成比例时，AE⊥CG，可以运用三角形相似证明，但CE≠BG. 思维从证明全等迁移到证明相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通．
　　把正三角形改为正方形、正五边形、正n边形以及等腰直角三角形等等，由易到难. 异中求同，通过类比引导，将同类知识串联起来，能促进学生的知识更新、迁移．形成多题一法，类题同法．不仅提高了学生的解题能力，同时还增强学生思维的灵活性和变通性．
　　3. 再增加一个等边三角形
　　在原题的基本图形上，在直线BC的同侧再增加一个等边三角形．如图9，△ABM，△ACN，△BCE均为在直线BC同侧，分别以AB，AC，BC为边的等边三角形．连结EM，EN．求证：四边形AMEN为平行四边形．
　　利用等边三角形和全等的知识可以解决此题，比原题稍微复杂了一些．再在此题的基础上，把第1问的题设和结论进行互换，得到如下题目：
　　如图10，分别以平行四边形AMEN的邻边AN和AM为一边，在平行四边形AMEN外作正三角形ANC和正三角形ABM，连结BE，EC，CB得△CEB，试判断△CEB的形状，并证明你的结论．
　　互换了题设和结论，其结构虽然发生了变化，但其解题思路、方法却很类似，利用平行四边形和全等的知识，只要将解题的顺序灵活调整即可．这样的“借题发挥”，起到了举一反三的作用．打破学生的定势思维，提高学生互逆思维转换的能力，培养学生双向思维的习惯．
　　四、增加背景，综合运用
　　添加一些背景，把基本图形融于圆或平面直角坐标系等处，综合性比较强，主要是培养学生的综合思维．
　　如图11，△ABC，△BED是分别以BC，BE为边的等边三角形，且A，B，D在同一条直线上，CE，AB的延长线相交于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．（1）求证：BE为⊙O的切线．（2）求证：AC2=CM?CF. 和圆的切线、相似三角形的知识结合在一起，隐含了AE=BD这个结论，但在此题中这个结论没有用到，可以考虑往这个方向进行借题发挥．这里不再展述．
　　五、感悟与反思
　　针对课本中好的例题习题、具有典型性和代表性的题目，可以从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下进行变式，可以添加探索结论；改变题目的条件和图形的形状；添加背景使题目综合化等，对原题的已知和结论进行多方位的演变延伸．将习题变形、重组、分解和组合，使题目一题多变、一题多用、多题组合，从而揭示不同知识点间的相互联系，使学生加深对知识的理解与内化，使知识系统化．这样根据不同年级的学生、不同层次的学生进行 “借题发挥”，加深知识间的联系，融会贯通，培养学生的创造性思维和思维转化的能力，打破思维定势．在本次“借题发挥”中，遗憾的是没有去编写、挖掘出可以利用基本图形得出的结论BN=MC去解决问题的相关题型，有待于改进．
　　在平时的数学教学中，不能是单一的解解题目．数学教学不等于解题，而应“借题发挥”，教学生学习数学的思想方法、学会探索，提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，成为培养学生创造性思维能力的全方位教学．

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