“判断三角形形状问题”知多少_判断三角形形状

时间：2019-02-21 03:28:37　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一、与平面向量的交汇　　　　例1 在△ABC中，若� 　　（BC+AC）・（ＢC-AC）　　BC2+AC2 　　=sin（A-B）sin（A+B）
　　，试判断△ABC的形状.
　　思路：将向量关系向三角形的边角关系转化.
　　解析：
　　（BC+AC）・（BC-AC）
　　BC2+AC2
　　=sin（A-B）sin（A+B）就是
　　a2-b2a2+b2=sin(A-B)
　　sin(A+B)�(a2-b2)sin(A+B)-(a2+b2)sin(A-B)=0
　　�a2［sin(A+B)-sin(A-B)］
　　-b2［sin(A+B)+sin(A-B)］=0�2a2cosAsinB-2b2sinAcosB=0�
　　a2b2
　　=sinAcosBcosAsinB
　　�sinAcosB=cosBcosA
　　�sin2A=sin2B�2A+2B=π或2A=2B�A+B=π2
　　或A=B.
　　故△ABC是直角三角形或等腰三角形.
　　例2 在△ABC中，(BC・CA
　　)∶(CA・AB)∶
　　(AB∶BC）＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状.
　　思路：
　　将向量的数量积向三角形的边角关系转化.
　　解析：
　　设BC・CA=k,CA・AB
　　=2k,AB・BC=3k,令|BC|
　　=
　　a,|CA|=b,|AB|=c.
　　因为BC・CA=
　　|BC|・|CA|・cos(π-C)=-abcosC.
　　由余弦定理得abcosC=12(a2+b2-c2),
　　所以a2+b2-c2=-2k.
　　同理可得，
　　b2+c2-a2=-4k,c2+a2-b2=-6k.
　　三式联立解得，c2=-5k,b2=-3k,a2=�
　　-4k,显然k0,最大角C为锐角，故△ABC是不等边的锐角三角形.
　　
　　二、与立体几何的交汇
　　
　　例3 如图1是一块正方体的橡皮，用刀任意切去一个角，截点A、B、C分别在从O出发的三条棱上，试判断截面三角形ABC的形状.
　　思路：利用正方体棱的垂直关系表示三角形ABC的三边，再运用余弦定理.
　　解析：如图2，这个问题可以转化为：“在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，判断三角形ABC的形状”问题.
　　设OA=a,OB=b,OC=c,则AB=a2+b2,BC=
　　b2+c2,CA=
　　c2+a2.
　　在△ABC中，由余弦定理有
　　cosA=
　　CA2+AB2-BC22CA・AB
　　=�
　　c2+a2+a2+b2-b2-c2
　　2c2+a2・a2+b2
　　=�
　　a2c2+a2・a2+b2
　　>0.
　　同理可得，cosB>0,cosC>0.因此△ABC是锐角三角形.
　　
　　三、与数列的交汇
　　
　　例4 △ABC中，∠A>∠B>∠C,且三边长成公差为1的等差数列，为三个连续的正整数，a=2cosC,试判断△ABC的形状.
　　思路：
　　利用等差数列关系和余弦定理确定三边长.
　　解析：
　　因为∠A>∠B>∠C,所以设a=x+1,b=x,c=x-1.由余弦定理的变式cosC=
　　a2+b2-c22ab得�
　　cosC=
　　(x+1)2+x2-(x-1)22x(x+1)
　　=4+x2x+2.
　　而a=2ccosC,所以x+1=2(x-1)・4+x2x+2
　　�x=5.因此a=6,b=5,c=4.
　　于是cosA=b2+c2-a22bc
　　=25+16-362×5×4>0,A为锐角，而A>B>C,
　　因此△ABC是锐角三角形.
　　四、与导数的交汇
　　例5 设a、b、c是△ABC的三边，过抛物线f(x)=ax2+cx+1上一点P（12，y0 )的切线斜率为2b,又对于函数g(x)=lnx有，g′(ba
　　)=g′(cb),试判断△ABC的形状.
　　思路：
　　利用导数的几何意义和幂函数、对数函数的求导法则获得a、b、c之间的关系.
　　解析：因为f ′(x)=2ax+c,所以f ′(12)=2a
　　・12+c=2b,即2b=a+c.
　　又因为g′(x)=1x,g
　　′(ba)=g′(cb),所以ab
　　=bc,即b2=ac.
　　将b=a+c2代入b2=ac得，(a+c)24
　　=ac
　　�(a-c)2=0�a=c.
　　再将a=c代入b=a+c2得，b=c=a,即△ABC是等边三角形.
　　以上介绍了“判断三角形形状问题”的四大新题型，解题的关键在于灵活运用正余弦定理及其变式、三角函数的运算、向量的运算以及与之相关的横向知识.近几年的高考在不断加大对这种问题的考查力度，复习中不容忽视.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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