反比例函数面积问题反比例函数图象中的面积问题

时间：2019-02-06 03:23:59　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　反比例函数y＝(k≠0)图象是双曲线，我们经常遇到与之有关的面积问题，现作一点初浅的探讨．　　如图1，P为双曲线y＝上任一点，PM⊥x轴, PN⊥y轴，设p(x,y)，则PM＝|y| ,PN＝|x|，
　　 ∴S矩形PMON＝�x�・�y�＝�xy�＝�k�（定值）．
　　与之有关的变式图形有：
　　1、如图2,S△PMO＝S矩形PMON＝│k│．
　　2、如图3,由对称性可知PO＝QO，PM⊥x轴，QR⊥x轴，PM＝QR，OM＝OR．
　　∴S△PMO＝ S△OMQ，
　　 S△PMQ＝2S△PMO＝2�│＝│k│，
　　SPMQR＝4S�PMO＝4�│=2│k│．
　　透彻了解这些基本图形与结论，对我们的解题将会带来很大方便．
　　例1如图4，P,Q是双曲线上第二象限内的任意两点，PM⊥x轴于M，QN⊥x 轴于N，试比较梯形PMNQ与△PQO面积的大小．
　　分析：∵S△PMO＝S△QNO，∴S△PMO－S△NOR= S△QNO－S△NOR，
　　即SPMNR＝S△QRO．∴SPMNR+S△PRQ＝S△QRO+S△PRQ．
　　∴S梯形PMNQ＝S�PQO．
　　 y＝(k≠0)中的k与相关图形的面积具有互为因果的关系．即已知k可求 S，已知S可求k．在解决后一类问题时，要特别注意根据图象所在的象限确定k的符号．
　　例2如图5，已知双曲线y＝经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为4，求双曲线的解析式．
　　解：∵E，F在双曲线上∴S△OAF＝S△OCE，
　　∵F为矩形OABC的边AB的中点．
　　∴S△OAF＝S△OCE ＝SOABC．
　　∴SOEBF＝SOABC.∴S△OAF＝SOEBF＝＝2．
　　∵S△OAF＝│k│＝2，∴│k│＝4．
　　∵反比例函数的图象位于二、四象限，∴k＜0．
　　∴k＝－4．
　　∴双曲线的解析式为y＝－．
　　例3如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B，C分别在x轴和y轴上．点N为y轴负半轴上一动点，过A，N的直线交BO于点D，点M为x轴正半轴上一动点，且∠NAM=45�髌叫兴谋咝�NOP，请探究点P是否落在一个反比例函数的图象上？若在反比例函数的图象上，请写出该反比例函数的解析式；若不在反比例函数的图象上，请说明理由．
　　分析：要考察点P是否落在一个反比例函数的图象上，可转化为考察四边形MNOP的面积是否为定值，亦即考察△MNO的面积是否为定值，因为点N为一动点，所以需求ON・OM的整体值．
　　解：连结OA．∵四边形ABOC是正方形，
　　∴∠OAM+∠MAC ＝45?
　　又∵∠OAM+∠OAN＝45�AC＝∠OAN．
　　∵AC∥BM，∴∠MAC＝∠AMO．∴∠OAN＝∠AMO．
　　又∵∠AON＝∠AOM＝135?
　　∴△AON～△MOA，∴＝．
　　∴OA2＝OM・ON．∵OA2＝12+12 ＝2，
　　∴S△MON＝OM・ON＝1，∴S△MOP＝1．
　　∴点P落在一个反比例函数的图象上．
　　∴│k│＝1．∴│k│＝2．
　　又∵反比例函数的图象位于一、三象限，
　　∴k＞0．∴k＝2．
　　∴反比例函数的解析式为y＝．
　　通过以上几例可见，对与反比例函数图象中相关的面积问题，若能抓住与之有关的基本图形进行分析，常能化繁为简，化难为易，使问题迎刃而解．

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