2020年中考数学人教版专题复习：菱形判定
时间：2020-10-14 09:02:06 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
2020年中考数学人教版专题复习：菱形的判定
一、考点突破
1. 理解菱形的判定定理；
2. 能够根据菱形的判定定理进行简单计算。
二、重难点提示
重点：掌握菱形判定定理。
难点：应用菱形判定定理证明。
考点梳理
菱形判定定理
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 定理1：四边都相等的四边形是菱形
3. 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【补充说明】注意理解判定定理中“四边相等”是指任意四边形具备此条件即为菱形。“对角线垂直”强调的是在平行四边形的前提条件下。
典例精析
例题1 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（
）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
思路分析：根据作图的痕迹以及菱形的判定方法解答。
答案：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD＝BC＝CD＝AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形。故选B。
点评：本题考查了菱形的判定，根据作图痕迹得到四边形ABCD的四条边都相等是解题的关键。
例题2 如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（
）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF＋∠FEC＝2∠A。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
思路分析：根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断。
答案：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝EF，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，故②正确；∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＋∠BFD＋∠BDF＝180°，∠C＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∴∠BDF＋∠FEC＝2∠A，故④正确。而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误。所以一定正确的结论个数有3个，故选C。
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分。具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定。
例题3 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE＝AB。
（1）求证：∠ABE＝∠EAD；
（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形。
思路分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB＝∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠DBE，然后求出∠ABD＝∠ADB，再根据等角对等边求出AB＝AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可。
答案：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠EAD；
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠ADB，∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形。
点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键。
提分宝典
菱形判定定理的延伸
1. 对角线互相平分、垂直的四边形是菱形。
2. 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
【注意】综合应用时要注意菱形四边相等、对角线垂直这一特点，注意勾股定理的应用。
满分训练（泰安）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF。
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE。
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由。
思路分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；
（2）首先证明∠CAD＝∠ACD，再根据等角对等边可得AD＝CD，再由条件AB＝AD，CB＝CD可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD。
答案：（1）证明：在△ABC和△ADC中，AB＝AD BC＝DC AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，AB＝AD， ∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，在△BCF和△DCF中，BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD。
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具。
同步练习
1. 对角线互相垂直平分的四边形一定是（
）
A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形
2. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是（
）
A. 矩形 B. 三角形 C. 梯形 D. 菱形
3. 如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′。若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（
）
A. DE是△ABC的中位线 B. AA′是BC边上的中线
C. AA′是BC边上的高 D. AA′是△ABC的角平分线
4. 下列命题中正确的是（
）
A. 对角线相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5. 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（
）
A. AB＝CD B. AD＝BC C. AB＝BC D. AC＝BD
6. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB＝CD；（2）AB∥CD；（3）OA＝OC；（4）OB＝OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如（1）（2）（5）?ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ?ABCD是菱形； ?ABCD是菱形。
7. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形。你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H。连接FH，求证：四边形CFHE是菱形。
9. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD。
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形。
10. △ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE。
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时。探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由。
试题答案
1. B 解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。故选B。
2. D 解析：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，则将①展开后得到的平面图形是菱形。故选D。
3. D 解析：∵四边形ADA'E是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角，∴AA'是△ABC的角平分线，故D正确；而B、C不正确；DE不一定是△ABC的中位线，A也不正确。故选D。
4. D 解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选D。
5. C 解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC。故选C。
6. （答案不唯一）（1）（2）（6）?ABCD是菱形，（3）（4）（5）?ABCD是菱形，（3）（4）（6）?ABCD是菱形
解析：（1）（2）（6）?ABCD是菱形。先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，再由（6）和（2）得出∠DAC＝∠DCA，由等角对等边得AD＝CD，所以平行四边形是菱形。（3）（4）（5）?ABCD是菱形，由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。（3）（4）（6）?ABCD是菱形，由（3）（4）得出四边形是平行四边形，再由（6）得出∠DAC＝∠DCA，由等角对等边得AD＝CD，所以平行四边形是菱形。
7. AB＝BC或AC⊥BD等
8. 证明：∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE＝EH，在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE＝AE，CE＝EH，由勾股定理得：AC＝AH，∵AE平分∠CAB，∴∠CAF＝∠HAF，在△CAF和△HAF中AC＝AH， ∠CAF＝∠HAF， AF＝AF∴△CAF≌△HAF（SAS），∴∠ACD＝∠AHF，∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝∠AHF，∴FH∥CE，∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形，∵CE＝EH，∴四边形CFHE是菱形。
9. 证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠CAD，∴∠CAD＝∠ACB，∵在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）∵∠FAC＝2∠ACB，∠FAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形。
10. 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，又∵∠EAB＝∠EAD－∠BAD，∠DAC＝∠BAC－∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝60°。又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABE＝∠BAC，∴EB∥GC，又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形；
（2）当CD＝CB时，四边形BCGE是菱形。理由：同（1），△AEB≌△ADC，∴BE＝CD，又∵CD＝CB，∴BE＝CB。∵四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形。
