双曲线方程公式大全【两类特殊双曲线探究】
时间：2019-05-24 03:23:41 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
高中阶段的教材的章节安排可以说是非常科学的。作为老师我们更应该深刻领会其中的一些指导性思想，并逐步使这些思想在日常的教学工作中得到充分的体现。做好这件事情我认为非常有意义。因为我们教师只有从宏观上对整个教学内容的分布或格局有一个深入浅出的把握，我们才能对学生的学习进行一种良好的规划和指导，并且能对某些重要的和典型的知识内容进行研究性学习，从而不断提高学生的学习能力。本人就通过二数学教学中的一堂课的教学实例，来简单谈一些看法，希望与各位同行进行交流和切磋。
函数（曲线）和方程的教学内容是高中阶段一块重要的核心内容，它的思想可以说是贯穿整个高中阶段的教学过程。在高一阶段的教学过程中，学生已经逐渐领会了如何了解一个函数的一些思想方法。并且我还补充了高中阶段经常遇到的两类重要的特殊函数：
（1）y=（一次分式函数）； （当时以y= 为例进行指导学习）
（2）（双钩函数）（当时以y=x+为例进行指导学习）（当ab>0时，图象的两个钩子又可以称为耐克函数，符合现在学生的品牌观念）
应该说学生对这块内容的学习是非常重视的，也掌握得比较扎实。在今年高二的圆锥曲线方程之双曲线的教学复习中，我又适时地向学生推出了这两类函数，学生顿时明白了这两类函数的图象就是我们现在所研究的双曲线。于是学生记忆中的旧知识被唤醒，学习兴趣也如雨后春笋破土而出，势不可挡。学习的效果确实是比较理想的。
下面对本堂课的前后过程作一个简单的介绍。
在本节课之前学生已经学习了双曲线与椭圆及抛物线所明显的一个区别：双曲线拥有渐近线。
本节课以双曲线的渐近线为切入口，让学生进一步学习和加深对双曲线性质的了解。
准备知识（已经有所介绍）：
引导学生细心观察双曲线及其标准方程，分析其特点，去探求对称中心，顶点，焦点，对称轴，渐近线，准线，离心率的内在联系，从而让学生归纳出双曲线的共同性质：
（1）双曲线有一个对称中心，两个顶点，两个焦点，两条对称轴，两条渐近线，两条准线；
（2）双曲线仅与两条对称轴中的一条相交，其交点就是顶点；双曲线的焦点就在这条对称轴上；
（3）双曲线的顶点，焦点，实轴在双曲线的同一条对称轴上，且准线垂直于这条对称轴；
（4）两条渐近线的交点，就是两条对称轴的交点，也就是该双曲线的对称中心；到两条渐近线距离相等的点的轨迹就是该双曲线的对称轴，显然，双曲线的两条对称轴相互垂直；
（5）若渐近线与实轴所在的直线的夹角为α，则双曲线的离心率：e=secα （α必为锐角）；特殊的情形：等轴双曲线中α=， e=，此时两条渐近线相互垂直。
以反比例函数为切入口，给出：
问题：（幻灯片）
已知下列双曲线的渐近线，求它们的对称中心，顶点，焦点，对称轴方程，准线方程，离心率的大小：
（1）y=， （两条渐近线为x=0, y=0，）
（2） y=（两条渐近线为 x=-，y= ）
解（1）：因为双曲线y=的两条渐近线为两条坐标轴，所以对称中心为O(0, 0)
在平面内到两坐标轴距离相等的点的轨迹为直线y=±x，由性质可知它们就是该双曲线的对称轴方程；双曲线的实轴所在的直线为y=x，它与双曲线的两个交点即为双曲线的顶点，可得(1, 1)， (-1, -1)，又因为该双曲线的一条渐近线与对称轴所成的角为，故其离心率为e=sec=，由性质设焦点F(m, m) 所对应的准线为：y=-x+n；设 为该双曲线上的任意一点，由双曲线的第二定义可知： =，整理化简得：xy=(n-m) (x+y)+m2-， 联立xy=1，比较得：n-m=0m2-=1，即m=n=±，由此得双曲线y=的两个焦点坐标为：(，), (-，-), 两条准线方程为：x+y±=0
分析讨论完毕后，我和学生一起进行了总结：
总结1：双曲线y=的性质（幻灯片）
（1） 对称中心为O(0, 0)；
（2） 两个顶点坐标为(1, 1)， (-1, -1)；
（3） 两个焦点坐标为：(， ), -， -)；
（4） 两条对称轴方程为：y=±x；
（5） 两条渐近线为 ，x=0, y=0；
（6） 两条准线方程为：x+y±=0；
（7） 离心率为e=
在第（2）个的教学过程里，学生的参与非常积极，基于其中计算量的问题和时间的关系，我主要引导了学生研究方法，并得到了其中部分的性质：
总结2：双曲线y=的性质（幻灯片）（最一般情形：abcd≠0， ad≠bc ）
（1）对称中心为-, ；
（2）ab>0， ad>bc时：两个顶点坐标为：（此时双曲线形状形如y=）
,,,，
（3）ab>0，ad>bc 时：两个焦点坐标为：课后思考。
（4）两条对称轴方程为：y- =±x, ；
（5）两条渐近线为两条渐近线为x=-， y= ；
（6）ab>0， ad>bc时，两条准线方程为：课后思考。
（7）离心率为e=
注：以上性质中（2）， （3）， （6）的另一种情形同样请学生课后思考。
在接下来另一类特殊双曲线性质的教学过程里，我同样地先给出了一个学生常见的，典型的例子，然后对一般的情形给予总结：
问题：（幻灯片）
已知下列双曲线的渐近线，求它们的对称中心，顶点，焦点，对称轴方程，准线方程，离心率的大小：
（3） y=x+（两条渐近线为x=0， y=x）
（4） y=ax+(a>0, b>0) （两条渐近线为x=0， y=ax）
解（3）：双曲线的两条渐近线的交点，也是两条对称轴的交点，就是双曲线的对称中心，所以该双曲线的对称中心的坐标为 (0, 0)，设P(x, y)为对称轴上任意一点，则点p到两条渐近线的距离相等，于是有：
=|x|，化简得：，y=(1±)x （也可由夹角公式得出）由性质这两条直线即为双曲线的对称轴方程，联立y=x+可得两个顶点坐标为： ,, -,-，该双曲线实轴所在直线为y=(1+)x，它与两条渐进线中的一条的夹角为，由性质知双曲线的离心率为e=sec=，设双曲线的焦点为F(m, m+m)，它所对应的准线为y=1-x+n，设M(x, y)为该双曲线上的任意一点，由双曲线的第二定义可知： =，化简得：
xy=x2+x+y+，
联立y=x+，即xy=x2+1，比较可得：2m-(2-2)n=0(2+2)m-2n=0=1，解得：m=±n=±，所以所求焦点坐标为(,), (-, -)准线方程为：
y=(1-)x+, y=(1-)x-，同样地和学生进行了总结：
总结3：双曲线y=x+的性质（幻灯片）
（1）对称中心为O(0, 0)；
（2）两个顶点坐标为：,-,-；
（3）两个焦点坐标为：(, ), (-,
-)；
（4）两条对称轴方程为：y=1±x；
（5）两条渐近线为x=0， y=x；
（6）两条准线方程为：y=1-x+,y=1-x -；
（7）离心率为e=
在y=ax+(a>0, b>0) 的教学过程里，学生投入的积极性受到了一定的影响，主要的原因在于其中的计算，不过从部分学生脸上我还是看到了很多自信的表情，因为他们已经知道了其中的研究方法，于是我把这个问题留给了部分学有余力的学生，作为课后研究性学习的作业。这对于他们的计算能力和意志品质又是一种很好的锻炼。
本节课我规划的一个主要目标是：在学生学过的典型知识点上进一步渗透新的知识内容，作为对它的一种延续或补充。这样做不但使学生对原来的知识点有了一种新的认识，而且还从全新的高度来全方位了解这类问题的不同背景或某种外延，使他们对学习有了更充分的兴趣和信心，得到了更多实际而又实惠的学习效果。同时我相信通过这样的教学尝试，会使教师更加了解教学大纲的教学思想，把握教材各个章节的有机联系，合理规划我们的教学进程，突出重点和难点，加强学生综合能力和意志品质的培养，合理激发学生学习数学的浓厚兴趣，最后的教学效果也将会带给我们教师不小的惊喜！
