小学一年级数学思维发散题_数学思维的发散

时间：2019-04-15 03:23:08　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　高中数学教学中，我们往往遇到这样的问题，学生的思维狭隘，解决问题的能力不强。从考后分析看，部分学生理解分析问题方法单一、刻板、思维的灵活性受限，思维定势倾向严重，致使计算率低，个别学生遇到问题束手无策。本文就一题多解发散学生思维方面阐述我的见解。
　　如何发散学生的数学思维呢？通过自身的教学实践，我认为一题多解就是一种有效的方法。一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
　　下面通过例题，来体会它的独特功效。
　　例1已知ｘ，ｙ∈R++且1x+9y=1，求ｘ＋ｙ的最小值。
　　解法1：“1”的妙用。
　　∵1x+9y=1，
　　∴x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥16。
　　当且仅当yx=9xy时，即x=4,y=12时取等号。
　　解法2:构造函数法。
　　由1x+9y=1，得y=9+9x-1(x＞1)。
　　∴x+y=x+9+9x-1=10+x-1+9x-1≥16。
　　当且仅当x-1=9x-1，即x=4时取等号。
　　解法3：三角代换法。
　　令1x=(cos θ)2,9y=(sin θ)2，则x+y=(sec θ)2+9(csc θ)2=10+(tan θ)2+9(cot θ)2≥16。
　　错解：
　　∵x,y∈R+，
　　∴1=1x+9y≥6xy。①
　　当且仅当1x=9y，即y=9x时取等号。
　　∴xy≥6。
　　又x+y≥2xy。②
　　当且仅当x=y时取等号。
　　∴x+y≥12。③
　　∴x+y的最小值是12.
　　此答案有误。因为①，②式的等号不能同时成立，所以③式等号不能取。此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件是必不可少的。
　　以上三种解法就是三种不同的数学思维，当你未能攻克或只用一种方法解答一道题目时，不妨试试其他途径，或许会给你一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感受，同时也发散了自己的数学思维，何乐而不为呢？
　　在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最简捷的解法。
　　例2已知a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1。
　　解法1：不等式法。
　　ac+bd≤a2+c22+b2+d22=a2+b2+c2+d22=1。
　　当且仅当a=c，b=d时等号成立。
　　解法2：不等式法。
　　由已知，得a2+b2+c2+d2=2≥2ac+2bd，
　　即ac+bd≤1。
　　当且仅当a=c，b=d时等号成立。
　　解法3：三角代换。
　　依题意设a=sin α,b=cos α,c=sin β,d=cos β
　　则ac+bd=sin αsin β+cos αcos β
　　=cos(α－β)≤1。
　　点评：此法借助换元，巧用三角恒等变换等知识，言简意赅地解出此题。
　　一题多解，有利于加强学生的思维训练，培养学生的思维品质。教学中，积极、适宜的进行一些一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧，有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识和智慧的增长，有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
　　（作者单位：河南省滑县第二高级中学）

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