新鲜出炉 [新鲜出炉之七]
时间：2019-03-12 03:25:03 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
考试时最怕碰到什么题?是难题,还是从未见过的新题?在对考场心态的“破坏力”上,两者的“段位”可谓不分伯仲.本工坊特推出“新鲜出炉”新题系列,拓展同学们的视野,让大家从此不再怕新题!
1. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能形成三角形,那么容器内液体体积的取值范围是.
2. 某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段;在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a,b的线段,则a+b的最大值为.
3. 如图1所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1=BC=1,AB=2-. P是A1B1上一个动点,设平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角分别为α,β(α,β≤),试求α+β的最小值.
【参考答案】
1. 解析: (考虑极端情况) 如图2所示,为使液面形成三角形,可先让正方体“立”起来,想象从顶端D1点注入液体,则一开始形成的液面肯定为三角形. 当液面恰好形成△AB1C时,易知液体的体积为.继续注入液体,液面将不再是三角形. 当液面上升至△DC1A1的位置时,将重新开始形成三角形,此时的液体体积等于. 故要使液面不可能形成三角形,则液体体积的取值范围是,.
2. 解析: (可借助具体模型来考虑)一条棱在三视图上的投影,其本质就是一条线段在三个两两垂直的平面上的投影,故可将这三个两两垂直的平面想象成长方体中有公共顶点的三个面ABCD,A1ABB1,B1BCC1,如图3所示.
设AC1=,AB=x,BC=y,BB1=z,则由题意可知x2+z2=6,x2+y2+z2=7,y2+z2=a2,x2+y2=b2,从而得到y=1. 故(a+b)2=(+)2=8+2≤8+2=16,所以(a+b)max=4.
3. 解析: 因为从图上很难直接看出α+β的变化情况,所以可以将问题转化成从α+β的三角函数值来观察其变化. 显然,对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1,两平面的交线为EF. 过P作PQ⊥EF于点Q,则PQ⊥对角面ABC1D1,连接PE,PF,如图4所示.
∵ PQ⊥ABC1D1,∴ PQ⊥AD1;又EF⊥AD1, ∴ AD1⊥平面PEF, ∴ PE⊥AD1,故∠PEQ=α;同理可得∠PFQ=β. 记AB长为a (a=2-),设A1P=x (0≤x≤a),则PB1=a-x. 显然EQ∥A1P; ∵ A1D⊥对角面ABC1D1,又PQ⊥对角面ABC1D1, ∴ A1E∥PQ, ∴ EQPA1为平行四边形, ∴ EQ=A1P=x,PQ=A1E=. 同理可知QF=PB1=a-x. ∴当0
