对称地处理对称性问题 对称性和反对称性
时间：2019-01-26 03:28:54 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
我们知道,等腰三角形两腰上的高相等,中线相等,两底角的平分线相等.其逆命题也成立.这就是对称性.如线段中垂线定理,角平分线定理,平行线及圆的相关定理也都是可逆的.这也是反身性.但是,由于角平分线与高线和中线相比条件明显弱化(没有垂足,中点的具体直观性及其与边的直接联系),导致了Steiner-Lehmes定理证明的难度.但因此也引起数学爱好者的广泛关注,人们潜心于该定理不同证法的探究及形式多样的引申,几十年来趋之若鹜.其中,尤以比例性质、相似、圆幂定理、正弦定理、角平分线定理、面积法(共边定理,共角定理)和繁琐的代数证法居多.笔者认为,从初中数学教学的角度考虑,这些证法都显得深难偏繁,于初中数学教学不宜.因此,斯坦纳―雷米欧斯定理在现行中学数学课程中淡出,几乎销声匿迹,可见一斑.作为一线的初中数学教师,笔者认为,还是利用等腰三角形的对称性“等边对等角”的推论“大边对大角”予以反证之最宜.现简介如下,供读者参考.不当之处,请指正．
定理有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.(已知求证略)
引理1 同一三角形中,大边对大角.逆之亦是.(证明略)
引理2 两个三角形若有两边对应相等,则夹角大者第三边也较大．
其实,这是“等边对等角”的直接推论.略证如下．
如图1,△ABC和△ABD中,AC=AD,∠BAC＞∠BAD,连接CD,有∠ACD=∠ADC,而∠BCD＜∠ACD, ∠BDC＞∠ADC,所以,BC＞BD获证．
现在用反证法证明定理：
如图2,假设AB＞AC,则∠ACB＞∠ABC(引理1),进而有∠1＞∠2,又已知BE=CD,所以BD＞CE(引理2)；平移BE至DF,连接EF、CF可得∠3=∠2,DF=BE=CD,EF=BD＞CE,所以∠5＞∠4,于是有∠DCF＞∠DFC,故DF＞DC,这与DF=DC矛盾.可见假设AB＞AC错误；同理,AB＜AC也不成立.即AB=AC获证.斯坦纳-雷米欧斯定理证毕．
它的简明快捷源于其对称的反身性,可逆性.“对称地处理对称性问题”这一思想方法可能比证明本身更重要!
为此,呼吁一下：还等腰三角形一个完整的轴对称体系,也让这一久违的定理回归故里,在初中平面几何课程中得以重现．
作者简介：程诗春，男，1955年生，湖北省京山县人. 中学数学特级教师. 主要从事初中数学课程研究. 发表十余篇论文.
