牙买加体系 当数学体系遇上悖论
时间：2019-03-12 03:25:55 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
现在开始,爱上数学―― 有人对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”听到这样的话,你也许会震惊:谁会有这么狂妄的口气?其实,说这句话的不是别人,正是数学发展史上的“捣蛋鬼”――悖论!悖论的产生,使人们对数学的可靠性产生了怀疑,导致了数学发展史上三次严重的危机。
在人们眼里,数学是一门严格、和谐、精确的学科,但是纵观数学史,它的发展却不完全是直线前进式的。由于数学悖论的出现,数学体系曾显露出不严谨的一面,数学的理论也遭到过各种怀疑。
那么悖论到底是怎样的一个角色呢?简单地说,悖论是这样一种命题:由它的真,可以推出它为假;由它的假,可以推出它为真。悖论貌似合理,却自相矛盾。我们知道,严格性是数学的主要特点之一,因此数学中出现悖论,会使人们对数学的可靠性产生怀疑,导致对数学认识的危机感。按照西方的说法,迄今为止,由悖论导致的“数学危机”,在数学发展史上出现过三次。
希帕索斯悖论与第一次数学危机
公元前6世纪,在古希腊学术界占统治地位的是毕达哥拉斯学派,他们倡导的是一种被称为“唯数论”的哲学观点,认为万物皆数,而数只有两种,就是正整数和可通约的数(即分数)。然而,毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯发现这个论断存在问题。希帕索斯提出了这样一个问题:边长为1的正方形,其对角线长度是多少?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,这在当时的数学界掀起了一场巨大的风波,直接动摇了人们对毕达哥拉斯学派的信仰。实际上,这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击,对当时所有古希腊人的观念更是一个极大的冲击。面对这一“荒谬”的问题,人们竟然毫无办法,当时的数学界思想极度混乱,史称“第一次数学危机”。
第一次数学危机的影响是巨大的,它推动了数学及其相关学科的发展。首先,人们开始认识到,除了整数和分数外,还有其他的数存在。在许多数学家的研究及努力下,无理数诞生了,并且被给予了严格的定义。同时,数学家们提出了一个包含有理数和无理数的新数类――实数,建立了完整的实数理论,为数学分析的发展奠定了基础。
第一次数学危机还表明,在数学研究中,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的。从此,希腊人开始重视演绎推理,并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾、解除危机而形成的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年里成为几乎所有严密数学理论的基础,这不能不说是数学发展史上的一次巨大革命。
贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机源于微积分的出现。公元17世纪,牛顿和莱布尼兹创立了微积分。微积分的使用使许多疑难问题的解决变得易如反掌。它能提示和解释许多自然现象,在自然科学的理论研究和实际应用中所起的作用引起了人们的高度重视。但不管是牛顿还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对“无穷小量”的理解与运用却是混乱的。因此,微积分从诞生时就遭到了反对与攻击。牛顿当时是这样求函数y=xn的导数的:(x+Δx)n=xn+nxn-1Δx+xn-2(Δx)2+…+(Δx)n,然后用自变量的增量Δx去除函数的增量Δy(Δy=(x+Δx)n-xn),计算得=nxn-1+xn-2Δx+…+(Δx)n-1,最后扔掉含有Δx的项,得到函数y=xn的导数y′=nxn-1。英国大主教贝克莱对于牛顿的求导过程提出了自己的看法:先以Δx为除数去除Δy,说明Δx不等于零,然后又扔掉含有Δx的项,说明Δx等于零,这岂不是自相矛盾吗?贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”,他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果,说微积分的推导是“分明的诡辩”。这就是著名的“贝克莱悖论”。贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础,引起了数学界长达两个多世纪的论战,引发了第二次数学危机。
第二次数学危机的解决,得益于19世纪初由柯西详细而有系统地发展起来的极限理论。说得简单一点,就是用“以0为极限的变量”解释了当时模糊的“无穷小”的概念,以 “当Δx趋向于0时的极限”解释了当时模糊的“最后的”的概念,从而使得这一算法无懈可击。从数学发展史来看,第二次数学危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用,反而使得微积分理论不断系统化、完整化,从而能够应用于各个科技领域,解决了大量的物理、天文、数学问题,推进了工业革命的发展。
罗素悖论与第三次数学危机
在19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论。集合论是数学中最具革命性的理论,创立的初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年,在巴黎召开的国际数学家会议上,法国大数学家庞加莱兴奋地宣布:“我们可以说,现在数学已经达到了绝对的严格。”然而,正当人们为集合论的诞生欢欣鼓舞时,一连串数学悖论又冒了出来,搅得数学家忐忑不安。其中,英国数学家罗素在1902年提出的悖论影响最大。
“罗素悖论”是这样的:假设集合S是一切不以自身为元素的集合所组成的集合,问:S是否属于S?若S属于S,那么根据S的定义,S就不属于S;反之,若S不属于S,同样根据定义,S就应属于S。利用集合的概念,罗素导出了“集合S不属于S当且仅当集合S属于S时成立”的悖论。之后,罗素本人还提出了“罗素悖论”的通俗版本“理发师悖论”――理发师宣布了这样一条原则:他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么理发师的胡子应该由谁来刮?如果他自己给自己刮胡子,那么他就是村子里给自己刮胡子的人,根据他的原则,他就不应给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,那么他就是不给自己刮胡子的人,那么按他的原则他又该为自己刮胡子。于是悖论产生了:理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。“罗素悖论”的出现,动摇了数学的基础,震撼了整个数学界,导致了第三次数学危机。
第三次数学危机产生后,数学家希望能够对康托尔的集合论进行改造,对集合的定义加以限制,达到排除悖论的目的。这就需要建立新的原则,“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”。1908年,数学家策梅罗在这一原则基础上提出了第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。ZF系统在很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
罗素悖论对数学学科有着极为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切需要解决的姿态摆到数学家面前,促使数学家对数学基础问题进行研究。而数学基础的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学体系。如围绕着数学的哲学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大流派――逻辑主义、形式主义和直觉主义,而各派的工作又都促进了数学的大发展。
通过数学史上三次危机警报解除的过程,我们可以发现,三次数学危机实质上是把数学自身从死胡同里拯救了出来。若没有第一、二次数学危机,则不可能有对“无限”的认识的飞跃;如果没有第三次数学危机,数学就不可能真正成为广泛应用于各个科技领域的工具学科。因此,三次数学危机不仅促进了数学及与之相关学科的发展,而且在危机解决的过程中,新的思想、新的数学分支像雨后春笋般不断涌现。所以,可以这样说,数学危机使数学获得了蓬勃发展,给数学和世界带来了生机。
