贝克莱悖论与第二次数学危机等|高数推翻1等于0.9循环

时间：2019-03-11 03:28:15　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　贝克莱悖论与第二次数学危机　　　　同学们刚开始学习导数的时候想必对这个问题感到困惑过：“无穷小量究竟是不是零？”比如求ｆ（ｘ）＝ｘ2的导数，先取一个不为0的ｘ的增量Δｘ（Δｘ无穷小），则ｆ′（ｘ）＝■＝■＝2ｘ+Δｘ；然后令Δｘ＝0，求得导数ｆ′（ｘ）＝2ｘ。既然之前能够作为除数，说明Δｘ≠0；但最后又令Δｘ＝0，那Δｘ究竟是什么呢？
　　17世纪，牛顿和莱布尼兹在同一时期各自独立创立了微积分，微积分成为了重要的数学工具。但他们的理论都是不严格的，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用是混乱的，始终无法就“无穷小量是不是零”作出明确回答。因此微积分从诞生起就遭到了一些学者的反对与攻击，例如法国著名数学家罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”其中攻击得最猛烈的是贝克莱。
　　贝克莱是18世纪的英国哲学家，著名哲学命题“存在即是被感知”就是他提出的。1734年，他署名“渺小的哲学家”出版了一本小册子――《分析学家，或致一位不信神的数学家》。在这本小册子中，他指责牛顿的微积分理论是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零，于是贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
　　这就是数学史上喧嚣一时的“贝克莱悖论”。由于这一悖论揭示出了早期微积分基础中一直回避的“逻辑丑闻”，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了“第二次数学危机”。
　　针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决问题，但都没有获得成功。直到19世纪20年代，法国数学家柯西在这个问题上迈出了第一大步。他在1821年出版的《代数分析教程》中从变量出发，抓住极限的概念，指出无穷小量不是固定的量而是以零为极限的变量，给出了关于无穷小量的比较明确的定义。不过，由于当时严格的实数理论尚未建立起来，所以柯西的极限理论也还是不完善的。
　　19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人建立了实数理论，并在此基础上建立了严谨的极限理论。由此，沿着柯西开辟的道路，众多数学家一同完成了微积分理论的逻辑奠基工作。
　　微积分学坚实基础的建立，结束了关于“无穷小量是否为零”的争论局面，同时也宣布了第二次数学危机的圆满解决。
　　
　　亲和数
　　
　　数字之间也有“好朋友”，这是毕达哥拉斯的重大发现。如284和220就是一对“好朋友”，因为284的所有真因子之和等于220，而220的所有真因子之和又等于284，即284＝1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110，220＝1+2+4+71+142。毕达哥拉斯认为这象征着友谊，因此把这样的数叫做“亲和数”。
　　寻找亲和数十分不容易。在毕达哥拉斯找到了第一对亲和数之后，直到两千多年后的1636年，才由法国“业余数学家之王”费马找到了第二对：17296=24×23×47，18416=24×1151。
　　迄今为止，人们找到了不下千对的亲和数，如1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6348等。你要不要也来找找看？
　　
　　罗密欧的第二次旅程
　　在前几期杂志中我们曾经帮罗密欧找到了一条通往朱丽叶的道路，现在罗密欧又碰到了难题，我们再一起来帮他想想办法吧。
　　罗密欧要以尽可能少的转弯经过每个白格，一个白格可以经过两次，但不能重复经过同一个格子的同一个角，也不可以进入黑格。

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