[反差缘何而来？]待君久不至,续衣缘而来
时间：2019-01-26 03:33:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
1 缘起 在本学期末全市的统考中，命题者出了一道证明圆周角定理的题，题目是这样的：[HTK]在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，有一位同学首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）. 如图1所示：
因为∠AOC是△ABO的外角， 所以∠AOC=∠ABO+∠OBA，又因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA； 即∠AOC=2∠ABO，所以∠ABC=1/2∠AOC.
请你帮这位同学想一想还有其他的情况吗？如果有请你在图（2）、（3）中画出图形，猜想结论又将如何，并请你说明理由.
这道题目的呈现方式同教材[１]中的完全一致，一般教师在上课时对该定理的猜想及证明应该都置于十分重要的地位. 回想自己上课时为了使学生明确该定理为什么要进行分类证明，还特意用几何画板进行过演示，使学生观察到当B点在圆周上运动时，圆周角在不同位置的证明方法是不同的，学生应该掌握得不错. 因此，考前我们预计中等以上的学生应该都能顺利的做出来，但考后反馈出来的情况令备课组所有教师都大跌眼镜. 以自己所任教的两个平行班为例，两种情况都证明出来的， 84个学生中只有区区8个同学，证明了一种情形的也只有近一半同学，甚至一些学生连题目的意思也没搞明白. 而整个年级段的情况也大致如此，到底是什么原因使师生间的认识产生如此大的反差？
2访谈
带着巨大的疑问对自己所任教的两个班级中的一些学生进行了访谈.
T：拿到该题是如何思考的？上课时对于该定理的证明思路是否清晰？
以下是访谈学生中一些比较典型的想法.
S1：上课时老师是先画出一个一般的情形让我们猜，然后引导我们先证明特殊情况，再证明一般情况，因此，上课时对于该定理的猜想及证明思路还是比较清晰的，对课本中的叙述也就没去看. 考试中拿到该题目，根本没想到是考定理证明 ，看看题目比较长，还要画图，就认为它难，心情就比较紧张，审题也没审清楚，一看到有不同情况，就把B点画到AC并直接用圆周角与弧的关系证明了…….
S2：做这道题目时，记得老师好像在课堂上讲过，但自己怎么想也想不起来，所以，只好画了两个图，写上猜想应付了.
S3：一开始没看懂题意，再仔细读了一遍，想起上课时老师是引导转化成特殊情形来做的，就模仿例子做了第一种情形，感觉还挺简单的，又思考第二种情形，连续添了几条辅助线但就是找不到转化的方法，现在感觉自己当时上课时还是没有真正理解.
S4：考课本内容实在出乎我的意料，读完题目有点慌，不知道还有哪种情况，该怎样证. 上课的印象只留下证明时好像要做一条直径，别的实在想不起来了，就瞎蒙了两种情形，结果全错了.
S5：题目的意思我也根本没弄懂，但圆周角与圆心角的关系还是知道的，没有别的办法，就直接用它们与弧的关系进行了证明…….
3 分析与思考
从学生反馈的信息看，以下几点应是造成师生之间认识迥异的主要原因所在.
3.1 学生的数学阅读习惯问题
材料的叙述并不复杂，研究对象也十分清晰，况且还是教材中的内容，竟然还有那么多的学生看不懂题意，实在令人惊讶. 究其原因，是我们常常认为培养阅读能力是语文教学的任务，更不要说指导学生阅读数学课本了，以致于经常出现这样的现象：一堂课下来，学生的课本始终不曾打开或仅仅是为了做课堂练习时才打开；有时为了多讲些例题，还没等一些学生仔细阅读完题目，充分理解题意，教师就开始分析了；课后作业中也几乎不会涉及阅读教材的内容，学生看书往往只是为了参考课本中例题的解法……. 长此以往，学生的数学阅读习惯不良、阅读能力不强是很自然的事，曾有教师进行过调查，目前学生的数学阅读习惯已接近“零阅读”的尴尬. 因此，部分学生对整个教材的体系与内容往往了解得一鳞半爪，前因后果都没搞清楚；遇到信息量稍大的阅读材料就会心存恐惧，不知如何去收集、分析、处理信息，不知如何沟通条件与结论之间的桥梁……，这些现象确实值得我们在平时的教学中加以重视. 如在课堂上对出示的问题应给予足够的时间供学生阅读与思考，并通过师生、生生之间的交流让他们反思自己在阅读方面的问题与不足，不断提高自己的阅读能力，课后应布置一定的阅读作业，同时，教师应加强对如何指导学生阅读课本等问题的研究，毕竟读数学课本不像读小说，要指导学生边读边思边动手，要鼓励学生尽可能独立思考，努力尝试自己解决问题，并将自己的思路与课本的思路加以对照，以期对自己有所修正、补充，有所启示，从而提高阅读效果，让教材在学生的学习过程中发挥它应有的作用.
3.2数学本质的理解问题
学习数学需要理解. 数学理解的含义，按皮亚杰的发生认识论学说，就是学生从现有的认知结构出发，对外来信息进行同化、顺应及相互平衡，化归到已知或已解问题网络的加工过程. 对于具体数学问题的解决而言，理解的更朴素认识通常是，明白了问题的条件与结论，弄清了由条件到结论间每一步骤的语义与根据，领悟了体现在步骤与过程中的思想方法[２]. 就本案例而言，部分学生显然对本题的证明方法只是停留在机械的模仿程度，对为什么要这样证，如何转化还一知半解，没有充分领悟其中的证明思想与转化策略；而另一些学生干脆连问题的条件也没弄清楚，于是便发生了把由圆周角定理引申出来的结果当作条件的逻辑错误. 反思自己当时教这个定理时，从圆周角概念的引出、辨析，到两种角之间关系的猜想、实验，再由特殊到一般的证明思路，在整个教学过程中看似让学生充分经历了知识的发生、发展过程，但从实际情况分析，效果却并不好. 究其原因，我们往往只是按照自己对内容的理解出发进行设计，缺乏换位思考，忽略了学生的认知基础与思维方式，如本题的分类讨论，虽然通过几何画板的演示，使学生直观发现分类的必要性，但该怎样分类，总体感受还是不深刻，关键在演示过程中缺少无限到有限的思想方法引领，即AC所对的圆周角有无数个，怎样证明这无数个圆周角都等于圆心角的一半？能否把证明无限个情形成立的问题转化成证明有限个情形成立的问题[３]？学生当可从演示过程中发现，圆心O与圆周角∠ABC有且仅有三种位置关系；还有对圆心在圆周角外的情况，设计时总感觉它的证明思路与圆心在圆周角内的情况完全一致，为了急于完成教学任务，便采取了降低教学认知水平的行为，却忽略了这时图形的复杂性会给学生证题带来一定的困难；另外本课教学时给予学生的交流空间狭窄，没有充分暴露学生中的思维障碍等等. 这些都是导致学生对所学的知识联系松散，仅仅靠记忆纽带维系，难以透彻理解数学内容本质的根本原因. 因此，教师必须在教学设计时进行换位思考，以学生现有的认知基础为出发点，在学生思维的最近发展区设计知识的生长过程，并努力监控这个过程，及时合理调整，使之和谐生成，切实使学生在数学思想方法的引领下达到新旧知识的融会贯通，形成有机的、多功能认知网络.
3.3 考试的评价问题
立足教材、重视双基、重视基本思想方法，一直是我国数学教学的优良传统. 它有利于学生重视知识的形成过程，有利于学生充分理解基础知识的本质与内在联系. 在考试中适度的引入对重要定理的考查，就是在这一方面的体现. 但由于受到中考指挥棒的影响，特别是近年来，各地中考试题中许多所谓的创新题铺天盖地，这些试题中也确实不乏重视思考、重视过程，反映学生思维能力的好题. 但那些情境为多数学生不熟悉的试题；那些只是从陈题稍作改变,而思路又很奇特的试题；那些会有失背景的公平，无意中鼓励题海训练的试题却也为数不少，而各类杂志上连篇累牍的解读声、赞扬声总是不绝于耳，大量所谓名师编制的模拟试题充斥市场. 在这种背景下，各地中考试题的命题组无形之中也会受到一定的影响，加上中考题量与时间的不匹配，这些因素都导致教师特别是初三教师花大量精力去研究试题的类型与解法，并在课堂上不断呈现，以便让自己的学生见多识广，到时遇到新型题不至于惊慌失措. 在教师的教学行为影响下，学生学习数学的主要目的已聚焦于考试与升学，导致学生用大量时间和精力花在“记”数学、“套”公式而非理解数学上，还误以为题目做得越多越好、公式记得越周详越好，误认为会解数学题就是学好了数学的标志[４]. 这里对双基的理解已异化为解题的熟练程度和正确性与否上，过程的理解与运用已不再重要，至于课本更是已变得可有可无. 这也是对该定理的证明反差极大的缘由之一. 希望通过这一帖清醒剂，提醒我们要重新正确认识双基的作用，要切实重视知识的形成和探究，要帮学生形成正确的数学观念. 当然，也希望中考命题时能考虑：考基础（考一点课本上的东西）； 考能力（考一点思维的过程）；也考一点对双基的理解.
总之，只有我们认真学习，加强研究，不断反思，深刻理解数学教学的本质，才能切实改进教学行为，不断提高课堂教学的效率.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书―数学（九年级下册）[M].北京:北京师范大学出版社,2001.
[2]罗增儒. 数学理解的案例分析[J].中学数学教学参考,2003,(3).
[3]陈泽.几何定理教学中的“四重四轻”现象[J].中学数学教学参考,2003，4.
[4]杨新荣,李忠如.初中生数学学习观的年级差异调查研究[J].数学教育学报,2005,2.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
