【相似之高明 枚举之奇妙】 jojo奇妙冒险第一季
时间：2019-02-21 03:24:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
张景中：河南汝南人，著名数学家、数学科普作家、中国科学院院士，曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计算机教育软件研究所所长。 编者语：在上一期，张景中院士给同学们介绍了构造法和反证法． 这期，张院士将接着用自己独到的讲解方式为同学们介绍另外两种解题方法――相似法和枚举法，让大家充分领略学习数学的快乐！
相似法――按图索骥，了如指掌
相似法又叫“关系―映射―反演法”，简称RMI原则. 它的一般模式如下图所示：
[已知物与
未知物的关系][已知象与
未知象的关系][找到未知物][找到未知象][反演][映射]
我们举个例子. 就拿对数的用法来说，原来的问题是求等于多少？如果设x=，则已知物是5和2，未知物是x，它们之间的关系是x5=2． 仅凭这个关系找x并不容易． 于是我们对这个关系作一个映射――取对数，此时，lgx和lg2就是x和2的象． 这样一来，象与象之间的关系就变为：5lgx=lg2． 凭借这一关系我们就可以找到未知象lgx=lg2=×0.301 0=0.060 2，最后反演回去，便找到0.060 2对应的真数（未知物）是1.149，即x=≈1.149，这就解决了原来的问题．
枚举法――尽掘七十二疑冢
枚举，就是把要讨论的问题分成若干个具体情形，一一考查，各个击破． 下面就是一个用枚举法解决的有趣的问题．
在一张纸条上写下两个自然数x与y之和，交给数学家甲；在另一张纸条上写下这两个自然数的积，交给另一个城市的数学家乙． 两人都被告知：x，y是大于1而且不超过40的整数． 甲、乙两位数学家在电话中讨论，甲说：“我断定，你不可能知道我手中是什么数．” 乙回答说：“是的，我不能肯定你的数是什么．” 过了一会儿，甲说：“可是现在我知道你的数了!”乙回答说：“那我也知道你的数了!”现在请问，x，y各等于多少？他们两人又是如何知道对方手中的数字的呢？
从反面想，如果乙手中的数是两个素数之积（如6=2×3，9=3×3，15=3×5），则乙马上就可猜出甲手中的数是这两个素数之和． 但甲能断定乙不知道他手中的数，可见甲手中的数不能写成两个素数之和． 因此我们便知道（乙也知道）甲手中的数不外乎是：11，17，23，27，29，35，37这七种可能． 由此可分析知道：
如果甲手中的数是37，因37=2+35=3+34=…故乙手中的数有可能是70=2×35，102=3×34等等． 若乙手中的数是70=7×10，则乙有可能猜想甲手中的数为17． 若乙手中的数是102=6×17，则乙有可能猜甲手中的数为23． 总之，两种情形之下乙都可能猜错． 故甲从乙说的“不能肯定”而无法确定乙手中的数是70还是102，或是别的数． 但后来甲知道了乙手中的数，故甲手中的数不是37．
同理可知，甲手中的数也不是35，29，27，23或17．
现在只剩下一种可能：甲手中的数是11． 由于11=2+9=3+8=4+7=5+6，故甲可以判断乙手中的数不外乎是18=2×9，24=3×8，28=4×7，30=5×6四种情形． 若乙手中的数为18，18=2×9=3×6，则乙只能猜甲手中的数为11=2+9或9=3+6，而9是不可能的，于是乙能肯定甲为11. 但乙说他不能肯定，故乙手中的数不是18． 同理可知，乙手中的数也不是24或28． 最后，若乙手中的数是30=5×6=2×15=3×10，则乙有可能猜甲手中的数是11或17（13不可能），因此乙不能肯定甲手中的数是什么． 而此时，甲在乙表示“不能肯定”时断言乙手中的数是30，那么乙也就知道了甲手中的数只能是11．
