[奇异值分解在静态系统分析的应用] 奇异值分解
时间：2019-02-19 03:22:48 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
【摘要】本文分两类情况,利用奇异值分解的方法,得出了静态系统模型中关于电压v与电流i之间的代数等价形式,从而在数值上得到了最可靠的表达式。 【关键词】静态系统 奇异值分解 精确模型
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0138-02
奇异值分解(SDV:Singular Value Decomposition)是由Beltrami与Jondan在18世纪70年代针对实正方阵提出来的,后来,Autonne把它推广到复正方阵,Eckart与Young进一步把它推广到一般的长方形矩阵.奇异值分解是线性代数中的一个古老概念,随着科学技术的发展,它在电子线路、统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制中的得到广泛应用,奇异值分解渐渐成了数值线性代数中一个最热门的研究专题,并成为了数值线性代数中最有用的方法之一。
1 奇异值分解的基本概念
1.1 奇异值的定义
设(r>0),AHA的特征值为
则称为矩阵A的奇异值。
其中表示秩为r的m×n复矩阵,AH 表示矩阵A的共轭转置矩阵。
1.2 酉等价的定义
设,若存在m阶酉矩阵U 和n阶酉矩阵V,使得,则称A与B酉等价。
酉等价的矩阵具有相同的奇异值。
矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准形。
1.3 奇异值分解的定义
如果矩阵(r>0)则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得
(1-1)
其中,而为A的非零奇异值(i=1,2,…,r)。将(1-1)式改写为
(1-2)
称为A的奇异值分解.
对应的AH的奇异值分解为
(1-3)
1.4 条件数的定义
假设矩阵,称为其条件数,其中||・||是矩阵的范数。
对于一个m×n矩阵A,其条件数也可以利用奇异值定义为,其中h=min{m,n}。
根据定义可知,正交矩阵或酉矩阵的条件数等于1。
2 静态系统的奇异值分解
假定某电子器件的电压为v,与电流i之间存在下列关系(即静态系统模型为):
(2-1)
矩阵A的元素限定取v1,v2,i1,i2的允许值。
如果所用的电压和电流测量装置具有相同的精度(例如1%),那么我们就可以很容易检测任何一组测量值是否为(2-1)式在期望的精度范围内的解.假设我们用其他方法得到了另一个矩阵表达式:
(2-2)
显然,只有当电流非常精确测量时,一组v1,v2,i1,i2的测量值才会以合适的精度满足(2-2);而对于电流测量有1%的测量误差的一般情况,式(2-2)与静态系统模型(2-1)是大相径庭的,因为式(2-1)给出的电压关系为v1-v2=0,而式(2-2)给出的电压关系则是v1-v2+104=0。然而从代数的角度看,式(2-1)和式(2-2)是完全等价的,因此,我们希望能够有某些手段来比较几种代数等价的模型表示,以确定哪一个是我们所希望的、适用一般而不是特殊情况的通用静态系统模型.解决这个问题的基本数学工具就是奇异值分解。
更一般地,我们考虑含有n个电阻的静态系统方程:
(2-3)
式中F是一个m×n矩阵.这是一个非常通用的简化表达式,一些不变的补偿项被忽略了。这样的方程可以来自某些物理装置(例如线性化的物理方程)和网络方程。矩阵F对数据的精确部分和非精确部分的作用可以用奇异值分解来进行分析。令F的奇异值分解为
(2-4)
于是,精确部分和非精确部分的各个分量被矩阵F的奇异值做不同大小的改变.如果式(2-2)是物理装置设计的准确规格,那么矩阵F的奇异值分解将提供一个代数等价,但在数值上却是最可靠的设计方程.注意到U是一个正交矩阵,所以由式(2-3)和式(2-4)有
(2-5)
如果将对角矩阵分块为,并将正交矩阵V做相应的分块,其中(A,B)是V最上面的r行,则式(2-5)可以写作,从而,我们可以得到与式(2-3)在代数上等价,但在数值上最可靠的表达式
(2-6)
如果式(2-3)是物理装置的不精确模型,则对角矩阵的对角线上就不会出现零奇异值,此时,我们不能直接使用式(2-6)。在这种情况下,我们需要对模型进行修正,方法是令所有的奇异值等于零,其中s是满足小于矩阵F的元素所允许的精确度(即物理装置的测量精确度)的最小整数,于是,式(2-6)中的(AB)修正为V的最上面s-1行。有关结果表明,这样一种修正可以使参数的变化限制在预先设定的误差范围内。
现在考虑一个电阻性的多端对(电阻、电导、混合参数、传导和散射)的不同表达式,我们的目的是寻找一个尽可能最优的表达式.例如,使用端对坐标x和y,电阻性多端对的显式表示为
y=Ax,其中 (2-7)
通过选择合适的坐标变换G,我们可得电阻、电导、任意混合参数或散射或传导的表达式。于是矩阵A的条件数就代表从x到y的信噪比放大倍数的上限.如果A可逆,则条件数也是从y到x的信噪比放大倍数的上限。因此,不同的表达式就可以根据它们的条件数进行排队,这就使得所有参数化表达式一目了然。显然,最佳的情况是条件数cond(A)=1或A是一正交矩阵(包含一比例因子)。一个自然的问题是,任何一个多端对的电阻器是否都有一个最优的表达式？也就是说,是否存在使得条件数cond(A)=1的正交矩阵A？为此,我们来看一个n维n端对的电阻器的隐含表达式:
(2-8)
应用F的奇异值分解(2-4),我们可以得到式(2-6),其中r=n.选择正交坐标变换
(2-9)
于是,利用G的正交性将隐含表达式(2-6)化为
故得结论:利用式(2-4)的奇异值分解可以得到式(2-9)所示的正交变换,并且通过此变换,即可得一个在数值上最优的显式关系y=x。
参考文献
[1] 徐仲等编.矩阵论简明教程.科学出版社,2004年.
[2] 吴湘淇编.信号系统与信号处理.电子工业出版社,1996年.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
