【教材研读拾穗:轴对称“包含”,平移】 二年级轴对称剪纸作业
时间：2019-01-26 03:29:01 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
在对初中数学新教师的培训与教学调研中,研读教材是一项不可或缺的工作.其中,一些对教材的思考与教学设计的话语,如骨鲠在喉不吐不快.现就初中数学人教版教材(八上12.2.1)“作轴对称图形”一节的研读,拾穗如下：
1 图形的方向
教材称：对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化(如下图)．
1.1 问题的产生
就作者的数学知识与教学经验可知,在现行初中几何学中似乎没有明确定义过对称轴方向与图形的方向这两个概念.那么,何谓对称轴方向？何谓图形的方向？又如何使学生理解上述内容？据作者了解,对此,教师在教学时,也只是让学生直观感受教材中的相应图示,并没有作相应的说明,更没有让学生动手操作予以确认．
1.2 解决的过程
网上查“百科名片”中“方向”的词意是指东、西、南、北四个方位.作者以为,首先,观察教材相应图示(如上)中第一条对称轴是指向南北方向的,也就是这条对称轴的方向.而第二条对称轴相对于第一条对称轴的指向发生了偏移,这就是说对称轴方向发生变化.其次,鉴于轴对称变换不改变原图形的形状和大小,所以,如果在图示的第二个“灯笼”内,作一条指向南北方向的线段,则其相对于第二条对称轴的在第三个“灯笼”内的对称线段的指向也发生了偏移.这样,图形的方向就发生了变化,而且这种变化更加直观简明.也就是说,让学生动手操作以确认图形的方向发生变化.而教师的理解与引导却不能仅仅停留在“操作确认”这一层面,需要再加以恰当说明,如操作指引的理由提示．
1.3 方法的提炼
图形方向的变化与否,是轴对称与平移的一个重要的区别指标.当然,轴对称也可能使图形的方向不发生变化,但如果图形方向发生变化,肯定不是平移所为,因为平移是不改变图形方向的.作者考虑 “直观感受”加“操作确认” 加“恰当说明”的教学过程,应该是符合现代初中数学的教学理念的．
2 轴对称“包含” 平移
教材称：有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案,许多镶边和背景的图案就是这样设计的(教材中给出的图例如下)．
2.1 图例的缺陷
将平移和轴对称结合起来,就其作用而言,不仅要发挥两者共同之处的功能,更重要的是要发挥两者各自不同的功能,这才是结合的本意.而教材中给出的以上图例,则没有显示平移不可或缺的作用,完全可以仅用轴对称得到,而不必用平移(只要在上图中③②①所在位置上方分别加入一条指向南北方向的对称轴就可看出).当然,从此图例中也可以看到平移的作用,但仅仅是平移与轴对称的共性使然．
因此,如果不考虑制作图案的过程,就最后结果而言,此图有缺陷,在于没有发挥平移和轴对称这两者各自不同的功能,也就不能说明平移和轴对称结合起来的作用.当然并不否认,利用平移,在创作图形过程中展开丰富的想象力,提高构图的效率等方面的作用．
2.2 疑问的产生
作者曾经试图查找到一个能同时显示平移和轴对称都具有不可或缺作用的图案,代替教材中给出的图例,来说明将平移和轴对称结合起来的效果.但费时费力,结果却令人失望.进而产生了这样的一个疑问：教材中提出的“将平移和轴对称结合起来”有无必要？
要想探究以上问题的答案,就有必要研究一下平移和轴对称的关系.而这两个概念虽然都是图形的变换,但在教材的处理及教学设计过程中,这两者是彼此毫不相干相互独立的两个概念,也就忽略了对这两者关系的研究．
2.3 问题的顿悟
从逻辑上来分析平移和轴对称两个概念的关系,当它们的作用具有“相交”而不是“包含” 关系时,才需要将它们结合起来,互补其不足之处,以提高被创作图案的精美度.但就其作用而言,作者研究发现,在同一平面内,轴对称“包含” 平移.现提出：
平移和轴对称的关系定理：一次平移可以由至多四次轴对称得到．
理由如下：
(1)水平方向或垂直方向的一次平移可以由至多二次轴对称得到．
如图： 简要说明： 1→ 2的平移=1→3的轴对称+3→2的轴对称．
(2)其它方向的平移可以分解成水平方向与垂直方向的平移．
故一次平移可以由至多四次轴对称得到.即：平移和轴对称的关系定理成立．
以上定理可以说明,轴对称兼容平移,完全具有平移的作用.也就是说,利用平移设计出的图案,完全可以单独由轴对称得到.从这一点上说,教材中提出来的“将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案”这一结论就不能成立.即：将平移和轴对称结合起来,不可能设计出比仅用轴对称更美丽的图案．
后记 本文的要点在于,一是在对称轴方向发生变化时,提出和解决了如何动手操作以更加直观简明的形式确认图形的方向发生变化的问题；二是首次提出并证明了平移和轴对称的关系定理.并由此推翻了教材所称：“有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案”这一结论．
