【紧扣等差等比数列定义解决求递推数列通项公式问题】 等比数列前n项和公式
时间：2019-04-29 03:25:35 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强。很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法，题型上一般可以分为：形如 型数列，（其中 不是常值函数)； 型数列；型数列； 型数列（p为常数）； 型数列（ 为非零常数）。在日常的教学过程中，强迫学生死记硬背，或许能够收到一定的成效，但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科，所以，我们有需要对以上几种题型的实质进行分析讨论，让学生明白所以然。笔者认为，无论哪种题型，最终均需要利用到等差数列（结合累加原理）或者等比数列（结合累乘原理）定义解决问题。
一、 利用等差数列定义
归类于该类题型的有： 型数列，（其中 不是常值函数)； 型数列（ 为非零常数）。只需要利用等差数列的定义，结合累加方法就可以解决。
例1（ 型）在数列 中,
分析：做题时，无论哪种题型，我们都需要想等差数列和等比数列的定义，然后分析题目条件究竟属于等差数列型或者是等比数列型。该题很显然和等差数列类型相关，我们把题目整理后得到 ，利用到累加原理即可以解决问题。
解：依题意有 逐项累加有 ，从而
例2（ 型数列）已知数列 满足 ,求 .
分析：此类题目咋看上去与等差数列和等比数列的定义相差甚远，此时需要对式子进行相关的变形，而且变形方面有固定的思路：等式两边同时取倒数即可。
解:两边取倒数得: ,即：
式子是以首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，故有 。
二、 利用等比数列的定义
归类于该类题型的有： 型数列；型数列； 型数列（p为常数）。只需要利用等比数列的定义，结合累乘方法就可以解决。
例3（ 型）已知 ，求 ．
分析：想等差数列和等比数列的定义，显然该题与等比数列定义密切相关，结合累乘即可解决问题。
解：由∴即
∴利用累乘原理可得：
∴
例4（ 型） 在数列 中，当 时，有 ，求 的通项公式。
分析：此类题不能一下子看出归属于等差或者等比数列，必须先对式子进行变形，常见解题思路为：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设 ，展开整理 ，比较系数有 ，所以 ，所以 是等比数列，公比为 ，首项为 。二是用做差法直接构造， 两式相减有 ，所以 是公比为 的等比数列。
解法1：设 ，即有 ，对比 ，得 ，
于是得 ，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，所以有 。
解法2：由已知递推式，得 ，上述两式相减，得 ，因此，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列。所以 ，即 ，所以 。
三．小结
由数列的递推公式，求数列的通项公式是高考常考的内容，但是由于数列的表现形式各异，有些数列的递推公式比较复杂，给问题的解决带来不少困难。在解决该类问题时，我们只需谨记一点就是：无论哪种形式哪种类型，最终将转化为等差数列和等比数列的定义去解决问题。
