体育测量与评价试卷中考测量题型解析

时间：2019-04-30 03:21:57　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　应用数学知识以解决实际问题的题型，一直以来都是中考的热点之一，　　运用解直角三角形来解决的测量问题就是其中的一类.常见的有求物高(宽)及　　求解横截面问题等，其中近年来求物高(宽)中的解答题的问题情境丰富多彩，但总
　　归起来所构造的图形大多以课本的例、习题的图形作为基本图形，解题的关键是
　　抓住基本图形来灵活运用解直角三角形的知识.下面笔者从近年来一些省市数学
　　中考题中选出部分题目，进行简单评析.
　　【题型一】
　　(课本P88)热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m．这栋高楼有多高(结果精确到0．1m)？
　　简析：解决问题的关键是会把实际问题转化为数学问题，将一些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，利用解直角三角形的知识来解决它．首先从实际情境中抽象出几何图形，如图1得到两个直角三角形，这两个直角三角形相对独立，分别有各自的直角，可分别在这两个直角三角形中解决问题.
　　图1
　　解：由图得∠BAD=30°,∠CAD＝60°，AD=120.
　　在Rt△ADB中，∵tan∠BAD=BDAD，
　　∴BD=AD×tan∠BAD
　　=403.
　　在Rt△ADC中，
　　tan∠CAD=CDAD,
　　∴CD＝AD?tan∠CAD=1203.
　　∴BC=BD+CD=403+1203≈277.1.
　　答：这栋楼高约277.1m.
　　考题1(青岛)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB为80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD的长度．(结果保留整数)
　　图2
　　(参考数据：sin37°=35,tan37°=34,sin48°=710,tan48°=1110）
　　简析：这道题目由课本例题通过改变测量对象改编得来的，已知线段和所求的线段刚好互换，在解题时还用到AD+BD=AB这一等式，而CD是两个三角形的公共边，把AD和BD转化为含有CD的式子即可解决问题.
　　解：设CD=x．
　　在Rt△ACD中，
　　sin37°=ADCD，∴AD=34x.
　　在Rt△BCD中，
　　tan48°=BDCD,∴BD=1110x.
　　∵AD+BD=AB,
　　∴34x+1110x=80，
　　解得x≈43.
　　答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约为 43米．
　　考题2(衡阳)为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要砍掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°．问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内?
　　简析：这道题的问题情境呈现方式比较特别，关键是转化为数学问题也就是比较AB与8的大小.若学生对课本例题熟悉的话，还是能很快把图形转化为例题的基本图形，利用矩形的性质得出辅助线的长度，就能用与例题一样的解法求出AB，再用AB与8比较大小即可知道是否危险了.
　　图3
　　解：过点C作CE垂直AB于点E.
　　由已知四边形BDCE是矩形，得
　　CE＝DB＝3，
　　在Rt△BEC中，
　　BE=CE×tan30°=3.
　　在Rt△AEC中，AE=CE×tan60°=33.
　　∴AB=AE+BE=43.
　　∵8＞43，
　　∴
　　距离B点8米远的保护物不在危险区内
　　【题型二】
　　(课本P91)海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛在北偏东60°的方向上，航行12海里到达点D，这时小岛在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险?
　　简析：从实际情境中抽象出数学问题，构造出直角三角形后得到两个有公共直角的三角形，在解题时两个三角形是相互联系的，因此解法相对较灵活.
　　图4
　　解法一：过A作AC⊥BD于C点，根据题意得
　　∠ABC=30°，∠ADC=60°，
　　∴AD=BD=12.
　　在Rt△ACD中，
　　∵sin60°=ACAD,
　　∴AC=sin60°×AD=63.
　　∵63＞8，
　　∴
　　海轮不改变方向继续前进无触礁危险．
　　解法二：过A作AC⊥BD于C点，根据
　　题意，
　　设CD=x海里，则AC=3x海里.
　　在Rt△ACB中，tan30°=ACBC，即33=3x12+x，∴x=6，∴AC=63.
　　∵62＞8，∴
　　海轮不改变方向继续前进无触礁危险．
　　考题3(凉山)如图5所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、 C在同一水平地面上.
　　(1)改善后滑滑板会加长多少米?
　　(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行?请说明理由.(以上结果均保留到小数点后两位).
　　简析：此题的测量方式跟习题一样，但给出线段和所求线段的方式已改变.先从小三角形求出AC，再求AD.第二问还要求出BD的长度后，才能判断.
　　图5
　　解：(1）在Rt△ACB中，
　　AC=AB×sin45°=22.
　　∵∠ABC=45°，
　　∴AC=BC=22. 　　在Rt△ACD中，
　　∵∠D=30°，
　　∴AD=2AC=42.
　　AD-AB=42-4≈1.66，
　　改善后滑滑板会加长1，66米.
　　(2)这样改造可行，理由如下：
　　∵CD=26，BD=CD-BC=26-22≈2.07，
　　又6-2.07＞3，∴这样改造可行.
　　考题4(眉山)如图6，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1．5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为 30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
　　图6
　　简析：此题还是取两个点进行测量，但测量工具有所变化，测量时用到有高度的测量仪，因此在测量值中要考虑到测量仪的高度，要用求得的AG的高度加上测量仪的高度才是这幢教学楼的高.
　　解：∵∠ACG=30°，∠AFG=60°,
　　∴AF=CF=40.
　　在Rt△AGF中，
　　sin60°=AGAF，
　　AG=sin60°×AF=203，
　　AB=AG+BG=1.5+203.
　　答：这幢教学楼的高度AB为(1．5+203)米．
　　考题5(鄂州)如图7，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为
　　30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后
　　再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑
　　匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．
　　图7
　　简析：此题的深度所对应的线段在水平线的下方，测量点也在水平线的下
　　方，有些学生误认为线段CF的长度就是C点距离海面的深度，事实上，C点距离海面的
　　深度应该是CF的长度再加上舰艇本身距离海面的深度.
　　解：作CF⊥AB于点F.
　　在Rt△AFC中，
　　∵tan30°=CFAF,
　　∴AF=3CF.
　　在Rt△BFC中，
　　∵tan60°=CFBF，
　　∴BF=33CF.
　　∵AF-BF=4000，
　　∴3CF-33CF=4000.
　　∴CF=20003，∴
　　海底黑匣子C点距离海面的深度是(500+20003)米.
　　课本中的例、习题都是经过专家精选的，
　　具有一定的示范性、典型性，教师在指导复习时要紧扣课本，找出每个章节中典
　　型的例、习题，这些题目内涵丰富、解法典型，是培养学生技能和提高学生数学
　　素质的主要内容.
　　(责任编辑金铃）

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