18-20世纪美英几何教科书的几何教育价值观①

沈中宇 汪晓勤 邹佳晨

(1.苏州大学数学科学学院 215006；
2. 华东师范大学教师教育学院 200062)

数学的教育价值始终是数学教育界讨论的重要课题之一.[1-]《普通高中数学课程标准(2017年版)》将落实六大核心素养作为数学课程的主要目标，又指出，数学课程应体现数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，[3]再次引发人们对数学学科育人价值、数学核心素养内涵的思考和广泛讨论.

数学教育的历史提供了丰富的思想养料，[4]从历史的视角来探讨数学的育人价值，能够为当今的数学教学和教科书编写提供启示和参考.为此，本文聚焦初等几何学，考察美英两国早期几何教科书中有关几何教育价值的观点，试图回答以下问题：美英早期几何教科书中呈现的几何教育价值观有哪些？这些观点是否随着时间的推移而发生嬗变？早期教科书如何体现这些教育价值观？

本研究涉及对文本内容的质性分析，因此采用质性文本分析法作为研究方法，具体方法为主题分析法，[5]接下来详细介绍本研究的文本选取、编码和分析过程.

2.1 文本选取

从18世纪70年代到20世纪60年代200年间出版的美英早期几何教科书中选取90种作为研究对象，其中71种为美国教科书，19种为英国教科书.若以20年分段，则各教科书的分布情况如图1所示.

90种教科书中，53种同时包含平面几何与立体几何，24种只包含平面几何，8种只包含立体几何，另外，有3种兼含几何学与三角学，2种兼含几何学与微积分.

本研究关注美英早期几何教科书中有关几何教育价值的观点，因此选取每本教科书中出现几何教育价值观论述的内容作为记录单位，其相关论述出现于前言、正文引言或正文起始(第一章的开篇部分)，其分布如表1所示，可见大部分出现在教科书的前言部分.

另外，出现在正文起始(第一章开篇部分)的小节标题有“线与面”、“本学科的重要性及其困难”、“几何学在中学的目标与实现途径”、“第一原则”和“几何导引”等等.

2.2 文本编码

首先，基于选取的90种几何教科书中相关的记录单位，对其提到的几何教育价值观进行编码，确定主题类目.接着，根据主题类目得到几何教育价值观的分类，阅读90种教科书中呈现的几何教育价值观，将其归于恰当的类目.然后，分析同一类目中的所有文本段，归纳创建每一主题类目下的子类目，从而得到每一个几何教育价值观的子类目.最后，将每个主题类目下已编的文本段再归类到界定的子类目中.

2.3 文本分析

在文本编码完成后，开始文本分析.首先呈现主题类目及其子类目的分类结果，即回答美英早期几何教科书中呈现的几何教育价值观有哪些，这些教育价值观有哪些主题类目与子类目，并对这些主题类目和子类目进行解释，从而回答了第一个研究问题.其次，分析主题类目之间的关联性，根据时间顺序，对其时间上的分布情况进行统计和分析，从而得到这些几何教育价值观在历史上的嬗变过程，回答第二个研究问题.最后，对所选的案例进行深度诠释，根据所得几何教育价值观的主题类目，再次深度阅读呈现这些观点的教科书，研究它们在教科书中的具体体现，则回答了第三个研究问题.

通过统计分析，可以将几何教育价值观分为思维训练、实际应用、知识基础、品质培养、数学交流、审美情趣六类.

统计发现，90种几何教科书中涉及六类价值的观点的编码共204条，其分布如图2所示.由此可见，提到最多的几何教育价值观是思维训练，占37.3%，其次是实际应用，占32.8%，数学交流占11.3%，知识基础占10.3%，品质培养占5.9%，审美情趣最少，占2.5%.

图2 90种教科书中六类几何教育价值观的分布

下面我们对这六类几何教育价值观作具体的分析.

3.1 思维训练

古希腊时期，思维训练被视为几何学的主要教育价值.伊索克拉底(Isocrates, 436BC-338BC)认为，几何学习不能立即造就一个演讲家或商业家，它更是一种训练思维的手段并为哲学的学习做准备.[6]柏拉图(Plato, 427BC-347BC)只强调数学在思维训练上的价值而不重视其实用价值，认为几何学的价值在于它能将灵魂引向真理.[7]

考察发现，共有72种几何教科书提及思维训练的教育价值，具体又分为三个子类目，分别是逻辑推理能力、数学抽象能力、空间想象能力，其编码数量分别为62条、5条与9条.

从中可见，绝大多数教科书强调几何学在培养逻辑推理能力上的价值.Potts(1845)提到，几何学很早就被称为是一门十分重要的训练思维的科目，作者引用17世纪法国数学家、物理学家帕斯卡(B. Pascal, 1623-1662)对几何学的评价：“几何学几乎是唯一被所有人公认为真理的学科，其原因之一是几何学家遵循逻辑推理的规则.”[8]Hawkes(1922)特别强调几何学在培养合情推理能力方面的价值，认为学习立体几何的益处之一是使用和发展科学想象.作者希望学生将几何学作为一门促进反思和猜想的学科.[9]

抽象性是数学的基本特点之一，不少教科书作者认识到几何学在数学抽象能力培养上的价值.Legendre(1834)认为，几何学中的命题是普适性的真理，应该用一般化的语句来陈述，而不是依靠特定的图形，用特定的图形来辅助理解几何命题削弱了他们的抽象能力，而这正是学习几何学的主要目标之一.[10]

Palmer(1918)指出，立体几何在思维训练上的价值在于它培养了空间直觉和空间想象能力，这与学生所生活的三维世界的物体非常符合，与平面几何不同，立体几何中最重要的功能在于空间能力的训练.[11]

3.2 实际应用

文艺复兴时期，数学的实用价值受到知识界的广泛讨论和普遍认同.英国数学家和天文学家约翰·迪伊(J. Dee, 1527-1608)在《几何原本》英译本的前言中总结了数学在航海、建筑、音乐、绘画、力学、天文学、占星术等30多个不同领域中的应用.[12]英国数学家雷科德(R. Recorde, 1510-1558)在其几何课本《知识之途》中，用诗歌的形式罗列了一份应用几何学的行业清单：木匠、石匠、铁匠、鞋匠、钟表匠、雕刻工、油漆工、刺绣工、织布工、画师、裁缝以及轮船、磨粉机、马车、犁的设计和制造者.[13]真可谓：大千世界，几何无处不在，芸芸众生，无人不用数学！

共有44种教科书提及几何学在现实生活中的应用价值.可分为五个子类目，其中有24条只是提到几何学的一般应用，另有43条编码涉及几何学在生活中的具体应用，有几何学与天文学、几何学与地理学、几何学与建筑学和几何学与工程学.其子类目编码的编码数量分别为8条、11条、12条、12条.

Clerc(1805)论及几何学在天文学领域的应用，通过几何学，天文学家可以测量天空的宽度、行星的移动、季节的运行及持续时间.[14]关于几何学对地理学的价值，Keith(1835)提到如果没有几何学，人们就不能划分和规划地产；
借助几何学，人们才能对王国、港口和海岸实施测量，并绘制出地图；
几何学帮助陆地上的战士和海上的水手，让堡垒更坚固，让宫殿更美观.[15]Lardner(1840)提到几何学在工程学中的作用，没有几何学，我们不可能踏出地球表面去探索宇宙，甚至不能了解地球的大小和尺寸，更不用说机械的相互运作或其对身体的影响，实际上，很少有哪一门自然科学无需以几何学为探索工具.[16]一些教科书强调了几何学在建筑学方面的价值，如Slaught(1918)提到建筑师用几何学原理使得建筑设计既确保安全又赏心悦目，如三角形的稳定性被用于桥梁、房屋和其他建筑结构上；
几何学也用于建筑装饰设计，如圆和其他几何图案用于教堂的圆花窗、走廊、拱顶、地面、瓦片，数不胜数.[17]

3.3 知识基础

柏拉图在《理想国》中提到，几何学是进一步学习其他高等知识的基础[7].达芬奇(L. da Vinci, 1452-1519)认为，数学乃一切学科的基础.[18]有18种教科书提出了几何学对于巩固知识基础的价值.此主题类目可分为数学基础和跨学科基础两个子类目，其编码数分布为5条和16条.

几何学是后续数学学习的基础.Marks(1871)指出，学校教育的首要目标是教会学生离开学校后还能继续学习，故学校应教授足够的科学分支，让学生在离开学校后还能继续学习这些分支.如果儿童离校时只有算术而没有几何知识，他就不懂科学的基本原理，而这些原理是以后学习更高等数学知识的基础.[19]

更多的教科书强调几何学是跨学科学习的基础.Herbert(1872)指出，一个人从小开始学数学无疑是很有益的，因为数学的推理方式以及几何和代数学习中所需的思维训练，能够开拓思维，并赋予思想以自由，为其他学科的学习打下基础；
几何教育史两千多年，在各个时代都被认为是科学的基础.[20]

3.4 品质培养

公元2世纪，古希腊天文学家托勒密(C. Ptolemy, 约85-165)在其《天文学大成》前言中已指出，数学学习有助于提升人的品质.[18]中国明朝著名的科学家徐光启(1562-1633)在其与传教士利玛窦(Matteo Ricci, 1552-1610)合译的《几何原本》的序言中提到，几何学具有令学习者去除浮躁、心思缜密等作用.[21]有12种教科书提到了几何学对于品质培养的价值，此主题类目具体可分为四个子类目，分别是热爱真理、培育远见、锤炼意志和感悟文化，其编码数量分别为5条、4条、2条和1条.

Hunter(1872)认为，几何学习能激发起人们对真理本身的热爱.[22]Robbins(1915)也指出，几何学习培育学生既能领会命题作用，又能理解命题推理过程的远见卓识.[23]Sykes(1922)认为，教育的一个重要目标就是训练人们通过对问题的分析，更好地应对困难.[24]Ford(1913)认为，应当将几何学视为一种文化现象，而不是一个形式化的学科，因为几何是一种人类的活动，兼具逻辑和学术的形态，几何教师应重视这一价值.[25]

3.5 数学交流

德国哲学家和数学家沃尔夫(C. Wolf, 1679-1754)在其《数学词典》中指出，没有数学，人就没有清晰的思想，从而不能作出清晰的书面表达.[18]有15种教科书的编者认识到几何学在培养学生数学表达上的价值，此主题类目可以分为三个子类目，分别为表达的清晰性、精确性和简洁性，其编码数量分别为8条、14条、1条.

在表达的清晰性方面，Slaught(1918)指出，没有什么学科能像几何学那样促使学生正确地思考并准确地陈述他是如何思考的，清晰地思考和表达可能成为一种思维习惯，而几何学是发展这些习惯的最有效的学科之一.[17]Gore(1908)提到几何学对表达精确性的价值，学习几何学的目的之一就是激励学生精确的表达方式.[26]Hunter(1872)除了提到几何学在培养表达清晰性和准确性方面的价值之外，还提出几何学在很大程度上培养了交流的简洁性.[22]

3.6 审美情趣

在审美情趣方面，托勒密曾指出，数学让人爱美(统一、秩序、对称、简洁).[18]16世纪英国数学家比林斯利(H. Billingsley, 约1532-1606)在《几何原本》英文版序言中称：“许多艺术都能美化人们的心灵，但没有哪门艺术能比数学更加有效地修饰和美化心灵.”[27]

有4种教科书提到了几何学在审美情趣方面的价值，此主题类目包含美感熏陶以及美化心灵两个子类目，分别有4条与1条编码.

在美感熏陶方面，如Spencer(1877)所说，几何学带给人们对美的事物的欣赏与鉴别能力.[28]Brown(1879)提到了几何学在美化心灵方面的价值，外显的对称性建立了与内在感情本质的联系，这些本质是人类存在的奥秘之一.思想和感受的融合逐渐在脑海中显现，直、平、曲这些特征的出现彷佛是某些潜意识的再现.正如哲学家阿里斯提波(Aristippus, 约435BC-350BC)的感受一样，当他遭遇海难之后，他发现沙地上的一个圆形，他说：“让我们尽情欢呼，我看到了美丽心灵”.[29]

以20年为单位，对上面提到的几何学的六类几何教育价值观：思维训练、实际应用、知识基础、品质培养、数学交流、审美情趣进行统计，得到1770-1969这200年间六类教育价值观在时间上的分布情况如图3所示.

图3 90种教科书中六类几何教育价值观的分布

从图5中可见，思维训练一直是这两百年间重点强调的教育价值，其次是实际应用的价值，知识基础的价值从19世纪开始出现，之后则保持相对稳定，品质培养的教育价值则在19世纪中叶之前被忽视，其后慢慢受到重视，数学交流的教育价值从19世纪30年代开始出现，其后比较稳定，审美情趣方面的教育价值出现最晚，且次数较少.

从年代上看，从1770年到1809年，几何教育价值观比较单一，以思维训练和实际应用为主，从1810年开始，随着几何教学的系统化，[30]知识基础的价值开始出现，与思维训练和实际应用一起成为之后一直出现的三大教育价值之一，从1830年到1889年，教育价值趋向多元化，六类教育价值都有被提起，且相对来说差距不大，而到了19世纪末，由于几何学更多的为高校入学考试服务，几何学更多成为了记忆训练的活动，[31]思维训练的价值异军突起，成为最主要的价值，其他五类价值受到一定的冷落，在20世纪初，受到“培利运动”以及美国课程改革的影响，教育价值重新变得多元化，[32]20世纪30年代之后，除了思维训练之外，其他的价值开始重新被重视，六类教育价值慢慢趋于平衡.

5.1 正文呈现

由于受到《几何原本》的深刻影响，几乎所有的教科书都将培养学生的逻辑推理能力作为主要目标之一，在每一个几何命题后都给出了证明，且命题与命题之间形成了严密且连贯的逻辑体系.Hunter(1872)对第一卷的线、角和三角形中的三十三个命题都做出了证明，且每个命题的证明之间存在联系，其中前十个命题之间的联系如图4所示.[22]

图4 前十个命题之间的相互联系

5.2 工具辅助

为了培养学生的空间想象能力，有教科书采用一些工具辅助学生.Palmer(1918)用硬纸板和帽钉、帽钉和软木塞以及硬纸板模型(图5)来辅助学生理解线面关系以及空间几何体.[11]

图5 培养学生空间想象能力的模型

5.3 问题融入

出于展示几何学的实际应用价值和知识基础价值的目的，一些教科书在课后习题中设置有关的练习.Betz等(1912)在有关圆与圆之间位置关系的习题中，设置了一个与天文学有关的问题，其背景为当月球进入地球的阴影之中时，将会发生月食，问题要求学生讨论日食发生时，日、地和月之间的相对位置.在平行四边形概念之后的练习中，介绍了物理中速度的平行四边形法则，并以船在水流中的运动为例，给出该法则的应用.[33]

一些教科书在相关知识点之后设置了训练学生表达的练习.Strader等人(1927)在有关几何轨迹的知识之后设置了相关的练习培养学生的数学交流，如让学生口头解释“为什么等边三角形的每一边都大于高？为什么这一论述对于任意三角形不成立？”，设置一些写作问题，如“判断一个命题是否正确或充分，并写下正确的命题”、“判断一个定义是否正确或者使用了恰当的语言，否则，请写出一个良好的定义”.[34]

5.4 文化渗透

有些教科书会在一些定理之后增添一些历史注记，从中渗透几何学中具有的热爱真理、文化熏陶等价值.Hart等(1912)在给出了等腰三角形底角相等这一命题及其证明之后，给出了一段历史注记：该命题最早由欧几里得在《几何原本》提出并给出证明；
由于欧氏的证明对于很多初学者来说比较困难，故在历史上被称为“驴桥定理”.接着，介绍欧几里得的生平及其事迹并配有画像，引用了欧几里得的名言——“几何无王者之道”，讲述欧几里得的故事：一个初学者曾问欧几里得“从几何学中可以得到什么实际好处”，欧几里得叫来门徒，说“给这个年轻人一些铜币，因为他一定要从他的学习中获得实际的收益.”[35]

1910年代大量教科书给出了精彩纷呈的建筑装饰图案，从而发展学生的审美情趣.Palmer等人(1918)在圆的构造一节之后，介绍了等边哥特拱的构造，并提到在中世纪时，哥特拱被引入建筑之中，很多著名的教堂由于这一设计而变得引人注目，如著名的英国林肯大教堂.[11]

综上所述，如图6所示，几何教育价值观在教科书中的体现方式有四种，美英早期几何教科书中对几何教育价值观的阐述可以分成六类，其中思维训练和实际应用是重点强调的教育价值，品质培养的价值在刚开始受到忽视，随后逐渐得到重视.

图6 几何教育价值观及其在教科书中的体现

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出了发展学生四基、四能、核心素养和情意的课程目标.[3]从美英早期几何教科书中对几何教育价值观的阐述中可以看出，几何学的学习体现了以上目标，对于发展学生核心素养具有较大作用，基于以上分析，得到如下启示.

6.1 注重思维训练，兼顾实际应用

思维训练始终是历史上几何学最强调的价值之一，在思维训练方面，几何学具有逻辑推理能力、数学抽象能力、空间想象能力三方面的价值，2017年普通高中数学课程标准修订，提出培养学生数学核心素养的培养目标，[3]几何学在思维训练方面的三个价值与核心素养中的三个素养正好对应，因此，通过进一步厘清几何学对学生核心素养发展的价值，有助于在学科教育中进一步落实核心素养，形成完善的核心素养培养体系.

同时，在历史上，几何教科书的编写曾经陷入两个极端，或者是完全实用的，或者是欧几里得《几何原本》的修订版本，因此，思维训练与实际应用的结合在此情境下显得尤为重要，因此几何教学要防止陷入两个极端，两者需要互相交融，共同发展.[36]

6.2 夯实知识基础，关注品质培养

在历史上，算术、几何、三角学和代数依次出现，它们之间互相促进，共同发展，几何学在后期才发展为一门独立的学科.同时，早期的几何学与测量学、天文学一起讲授，直到19世纪，由于几何学专门化的趋势，几何学的教学才变得相对独立.因此，需要重视几何与其他数学分支的联系，防止数学知识的碎片化.[37]同时，打破学科壁垒，让学生在多学科的氛围中掌握各种知识和技能.[38]

在传统注重培养学生知识技能的基础上，历史上人们对几何教育价值观的认识更加多元，除了传统的思维训练、实际应用和知识基础之外，也开始关注几何学对学生品质培养的价值.2012年，党的十八大报告中明确提出将“立德树人”作为教育的根本任务.各科教学应当重视挖掘本学科中的价值因素，实现知识教学与品德教育的有机融合，[39]几何学在学生品质培养方面具有独特价值，因此可以成为在课堂中落实学科德育的重要载体.

6.3 融入数学交流，体现审美情趣

在几何学的历史中，数学交流始终是不容忽视的价值之一，几何学能够训练学生数学表达的清晰性、精确性和简洁性，随着科学技术的发展，数学广泛地渗透在社会的方方面面，学生在交流中学习数学语言，并运用数学语言去认识世界，[40]在早期几何教科书中已经有训练学生表达的练习，在今天，数学写作在美国已经较为广泛地被用作数学学习的路径，已成为美国数学教科书中一类重要的习题形式.[41]因此，可以在教科书的练习中设置相应的数学写作习题，从而发挥几何学数学交流的价值.

几何学在审美情趣方面的价值在历史上较晚才得到人们的认识.事实上，美育在如今的学校教育中具有重要的作用，苏霍姆林斯基认为，学校的任务在于，把美感和许多世纪以来创造的美变为每个人的心灵的财富，[42]几何学知识的渗透可以使学生更好地欣赏艺术作品，从而促使学生在几何学的学习中提升美学修养.

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