杨辉三角的规律公式4种杨辉三角在路径问题中的应用

时间：2019-01-20 03:25:01　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　[摘要] 在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘，如果把他的这种性质合理的应用到实际问题中或者是教学中，将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大的发现的现实意义。
　　[关键词] 杨辉三角路径二项式系数
　　
　　杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律和性质，而路径问题中的杨辉三角问题是一个与实际生活相关的发现，在解题中也可应用。
　　一、实际问题
　　小红家到学校之间有很多的交叉路口，每一个交叉路口都有两条路可以走如图1，一天小红有事需要尽快回家，可是小红却不知该走那条路好，请帮小红找出一条最近的路。
　　解：如图2（为了讨论方便我们把家看成甲地，学校看成乙地。）从甲地到乙1地有2种走的方法。
　　如图5，从甲地到乙4地有6种走的方法，刚好是到乙2的走法加上到乙3的走法。
　　随着甲乙两地之间距离的增大，从甲地到每一个交叉点的走法如图6所示：
　　上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似，由此当我们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。其实这个图形在西方数学史上已有记载，它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。从该图中我们很容易得到二项式任意正整数次幂的系数展开。
　　二、应用
　　例1．由1，2，3，4，…，n为第一行，从第二行开始每行的每个数都等于其肩上两个数之和构成如图所示的三角形数表，当n = 100时，M =．
　　常规解法：初看试题是一道关于三角形数阵的题目，通常的解法是找出数字之间的规律，利用数列的知识，得出递推关系，进行分析求解。此题的难点在于从最左边的斜线数字1，3，8，20・・・来看，直接找不出规律，但认真观察可以发现第1行数字是公差为1的等差数列，第2行数字是公差为2的等差数列，第3行数字是公差为4的等差数列，可以归纳出第n行数字是公差为2n-1的等差数列，则可设f（i，j）（i，j =1，2，3，…，n且i + j≤n + 1，n∈N+）表示第i行的第j个数．有f（i+1，j）= f（i+1，1）+（j-1）2i且根据从第二行开始每行的每个数都等于其肩上两个数之和构成可得
　　f（i+1，j）= f（i，j）+ f（i，j+1）
　　有以上两式就可以探究最左边的斜线上的数字规律了，令j=1，可得
　　f（i+1，1）= f（i，1）+ f（i，2）=2 f（i，1）+ 2i-1
　　根据数列的递推关系，两边同除以2i+1可得
　　此解法需要较强的观察、分析、归纳能力及解决递推数列问题的能力。
　　创新解法：如果变换一个角度分析，由三角形数阵联想到杨辉三角，那么就会起到山重水复疑无路，柳暗花明又一村的效果。
　　分析：把从第二行开始每个数字都和其肩上两个数字用短线连接，这样，就可以把短线看做路径，每个数字作为路径的连接点，因为从第二行开始每行的每个数都等于其肩上两个数之和，所以对于第一行1，2，3，4，…，n中的某一个数例如i（i =1，2，3，…，n）按照从上往下走的顺序有几种路径到M位置，M中就有包含几个i的和，记为Mi，
　　可得M= M1+ M2+ M3…+ Mn
　　而路径问题我们容易想到杨辉三角，为方便我们把三角形数表倒过来，使得和杨辉三角的形式相同，转化为求第一排M到最后一排1，2，3，4，…，n中每个数字有多少种路径问题。从上往下，每个连接点位置的走法构成杨辉三角，如下：
　　再结合杨辉三角与二项式系数的关系可得，M到1的路径有种，M到2的路径有种，…，即 M到i（i =1，2，3，…，n）的路径有种，所以
　　M=1+2+3+…+n
　　把上式倒序相加得
　　2 M=（n+1）（+++…+）=（n+1）
　　，
　　当n = 100时，M =
　　显然在第二种解法中把一个复杂的数学问题转化成有趣的有关杨辉三角的路径问题，是一种思维的开放，思想的开放。杨辉三角优美的性质在实际问题中的应用得到了充分的体现，是一种创新。
　　例2．如图，从上往下读“构建和谐社会，创美好未来”，不能跳读，共有多少种读法？
　　
　　一看到这道题，让人想到用排列组合的知识来做这道题，但是分类和分步混杂，使得解题陷入绝境，找不到头绪。如果我们认真观察分析，变换一种角度，这道题也是一道关于杨辉三角的路径问题，从上至下，把每一个字看成道路的交叉点，从上至下，相邻交叉点之间用道路连接。则此题就转化为从起点“构”走到终点“来”有多少条路径问题。
　　分析可得每一个交叉点的走法数构成杨辉三角，结合杨辉三角与二项式系数的关系可得，“来”对应的二项式系数是，所以从起点“构”走到终点“来”有条路径，即共有252种读法。
　　通过这两个实例，我们了解了杨辉三角在路径问题中的应用，它使得抽象的数学问题变得直观、生动，也是对古老的杨辉三角创新性地一个应用。其实杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律和性质，在现实生活中有着广泛和有趣的应用，只要我们去研究它就会有新的发现。

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