统计、概率中开放性问题分类例说
时间：2022-09-29 12:20:06 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
周晓娜
解决统计、概率中开放性问题的要点，主要有下面两点：
1.用数据说话，要有相应的数据支撑，在陈述数据时，要计算事件发生的概率或者计算样本均值等数据，不能只说结论;
2.表达要到位，陈述理由不要偏离主旨，要正确看待小概率事件发生的情况，最好不要从抽样数据太少、实验次数太少等非要点出发解题。
一、根据期望与方差解决问题
例1 （2021年江苏高三模拟卷）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元。如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉。奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得表1。
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35杯的概率。
（2）①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润（单位：元），求ξ的分布列和数学期望;
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗，请说明理由。
分析：（1）利用对立事件概率及古典概型进行计算即可求得结果。
点评：本题的核心是利用利润的计算方式将题目已知的奶茶日需求量转化为奶茶店的利润，同时利用古典概型的计算方式求出相应利润的概率，进而可计算出利润的数学期望。
二、根据概率解决问题
例2 （2021年福建龙岩市高三三模）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负。已知本次比赛的主办方提供8 000元奖金并规定：①若有人先赢4場，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止;②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金。已知每场比赛甲赢的概率为p （0
（1）设每场比赛甲赢的概率为1/2，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列。
（2）现规定：若随机事件发生的概率小于0. 05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生。若本次比赛p≥4/5，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断比赛继续进行乙是否有赢得全部奖金的可能，并说明理由。
分析：（1）由甲、乙输赢情况确定得奖金的情况，然后计算概率得分布列;
（2）比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙嬴，分类求得Y=3或Y=4的概率，得出乙赢得全部奖金的概率，利用导数求得最大值，可得结论。
解：（1）因为进行了5场比赛，所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢4场，乙赢1场;甲赢3场，乙赢2场;甲赢2场，乙赢3场;甲赢1场，乙赢4场。
5场比赛不同的输赢情况有C4+C5+C2+C1 =28（种）。
①若甲赢4场，乙赢1场，甲获得全部奖金8 000元;
②若甲赢3场，乙赢2场，当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为1/2十1/2×1/2=3/4，所以甲分得6 000元奖金;
③若甲赢2场，乙赢3场，当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为1/2×1/2=1/4，所以甲分得2 000元奖金：
事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件，所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金。
三、根据样本估计解决问题
例3 （2020年新课标Ⅱ卷理数）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样。
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可。
点评：本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查同学们的数学运算能力，是一道容易题。
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