2020年中考数学人教版专题复习：概率初步
时间：2020-10-14 09:01:15 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
2020年中考数学人教版专题复习：概率初步
一、教学内容
用列举法求概率、利用频率估计概率
1. 用列举法和树形图求事件的概率.
2. 用试验频率来估算概率.
二、知识要点
1. 有限等可能型随机试验
如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果，只有有限多个；（2）E的每一个可能结果发生的可能性大小相等. 则称E为有限等可能型随机试验.
对于等可能型随机试验E，设它的所有可能结果是n个等可能的情形，事件A包含其中的m个情形，则定义事件A的概率为P（A）＝ eq \f(m,n). 在计算事件的概率时，正确鉴别试验的所有可能结果是否具备有限与等可能两个条件是非常重要的.
2. 无限等可能型随机试验
如果随机试验E是向一个可求面积的平面有界区域S内随意投掷一点M，这时S中的每一落点e是一个基本事件“M落在e处”，设点落在S内的任何一个位置上的可能性大小均等，并且点M落在任何一个可求面积的区域A（A包含在S中）内的可能性大小，只与A的面积成正比，而与A的形状以及A在S内的位置无关. 由于S内有无限多个点，点M落在S内任意一点处的可能性都是相同的，因而这是一种具有无限、等可能性质的随机试验. 这时定义点M落在A内的概率P（A）＝ eq \f(A的面积,S的面积).
3. 用列表法和树形图法求概率
在随机事件中，涉及两步或两步以上试验时，我们常用列表法或树形图来计算概率. 其中当一次试验涉及两个因素（例如投掷两颗骰子）并且出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，我们采用列表法较为简捷；当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，为不重不漏地列出所有可能的结果，我们通常采用树形图计算概率较为简捷.
4. 利用频率估计概率
（1）利用频率估计概率的一般情况
一般地，当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们常通过统计频率来估计概率.
（2）利用频率估计概率的一般方法
在相同条件下，进行大量重复试验，并利用统计的相关知识计算随机事件发生的频率. 如果随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，此时，我们就把这个常数当成这个随机事件发生的概率的近似值，特别注意的是：用频率估计概率时，必须要求试验是在相同条件下进行的.
三、重点难点
本节重点是掌握求事件概率的一般方法，能用列举法求出一些涉及一个因素（或两个因素）的简单事件的概率. 难点是用树形图法求涉及多个因素的简单事件的概率.
四、考点分析
在近几年的中考中，概率问题多以中、低档的填空、选择或解答题形式出现，已逐渐成为各地中考热点，所占分值在11分左右. 出题的背景大多来自于同学们能理解的与生活及社会相关联的题材，具有很鲜明的时代特征.
【典型例题】
例1. 袋子中装有白球3个与红球2个共5个球，每个球除颜色以外都相同. 从袋子中随意摸出一个球，求：（1）摸到白球的概率；（2）摸到红球的概率；（3）摸到黑球的概率；（4）摸到红球或白球的概率.
分析：为了说明方便，把3个白球分别称为1号、2号、3号，红球称为4号、5号，由于5个球只有颜色不同，故在袋子中被摸出的可能性相等，可能出现的结果有5个. 摸到白球可能出现的结果是：1号、2号、3号3个，摸到红球可能出现的结果是4号、5号2个，由公式P（A）＝ eq \f(m,n)可求出概率，但摸到黑球是不可能的（即可能结果为0），而摸出的球肯定是红球或白球是必然发生的事件，可能出现的结果为5个.
解：（1）P（摸到白球）＝ eq \f(3,5)；（2）P（摸到红球）＝ eq \f(2,5)；（3）P（摸到黑球）＝ eq \f(0,5)＝0；（4）P（摸到红球或白球）＝ eq \f(5,5)＝1.
评析：进一步体会概率的意义，感受事件发生的可能性有大小，不可能事件发生概率为0，必然事件发生概率为1，随机事件发生的概率为0~1之间的一个数，了解用列举法求概率的方法.
例2. 有长度分别为2、4、6、8、10的五根木棍，从中任意抽取三根，能构成三角形的概率有多大？
分析：通过画树形图，表示出各种可能情况，然后根据构成三角形的条件，找出能构成三角形的情况.
解：五个数，任取三个数的各种可能情况如图所示.
共有10种，而其中的4－6－8，4－8－10，6－8－10三种情况符合构成三角形的条件，其他情况均不符合构成三角形的条件. 能构成三角形的概率为
评析：（1）用树形图表示各种可能结果，要按一定规律，避免遗漏. （2）结合题意，避免重复. （3）逐一验证每种情况是否构成三角形.
例3. 现有一袋子，其中装有分别编号的2个黄球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出第二个球，将下列事件发生的概率从小到大在直线上排序：
（1）取出的恰是两个红球；（2）取出的恰是两个黄球；（3）取出的恰是一红一黄；（4）取出的恰是一红一黑.
分析：把4个球分别编上号，画出树形图.
解：将袋中4个球编号为黄1，黄2，红1，红2，再画图，如图所示：
在直线上排序如下：
评析：此类题目的解题通常要把相同的球编上不同的号，再画出树形图，并进行判断分析.
例4. 小明和小刚利用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分，当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由；若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
分析：要回答游戏是否公平，就要知道每转一次转盘双方可能得的分值是否一样多. 由于题中涉及两个因素，用列表法帮助分析.
解：游戏对双方公平.
先用列表法求出积为奇数与积为偶数的概率.
由上表得，可能出现的结果有6种，它们出现的可能性相等.
P（积为奇数）＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3)；P（积为偶数）＝ eq \f(4,6)＝ eq \f(2,3).
∴小明的积分为 eq \f(1,3)×2＝ eq \f(2,3)；小刚的积分为 eq \f(2,3)×1＝ eq \f(2,3).
小明与小刚的积分相等，所以游戏公平.
评析：本题中P（积为奇数）＝ eq \f(1,2)P（积为偶数），但由于当“积为奇数”事件发生时，分值为2分，而“积为偶数”事件发生时分值为1分，从而使双方从一次游戏中获得相等的积分的可能性相等.
例5. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(,3),6)π C. eq \f(\r(,3),9)π D. eq \f(\r(,3),2)π
分析：本题是关于几何概率的问题，针扎到其阴影区域的概率等于阴影区域的面积比整个面积. 设正三角形的边长为a，则其面积为 eq \f(\r(,3),4)a2，其内切圆的半径为 eq \f(\r(,3),6)a，其面积为 eq \f(πa2,12).
解：C
评析：本题主要计算阴影区域和整个三角形的面积比. 几何概率通常用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来求，如：有一根外观完好无损的木棒长1.6m，其实内部已有0.4m遭虫蚀. 如果随机地选一处锯断该木棒，所选之处恰好是遭虫蚀的地方的概率有多大？这个问题的概率就是用遭虫蚀木棒的长度0.4m与整根木棒的长度1.6m相比求得.
例6. 一个口袋中有红球24个和若干个绿球，从口袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，试验200次，其中有125次摸到绿球，由此估计口袋中共有多少个球？
分析：假设有x个绿球，因为摸200次中有125个绿球，可以认为绿球的概率是 eq \f(125,200)，又绿球的概率是 eq \f(x,x＋24)，由此可求出绿球.
解：设绿球有x个，则 eq \f(125,200)＝ eq \f(x,x＋24)，所以x＝40，x＋24＝64（个）. 所以口袋中有64个球.
评析：由频率估计概率的思想，可转化成方程解决.
【方法总结】
1. 当试验的可能结果有有限个且各种结果发生的可能性相等时，利用列举法求概率（P（A）＝ eq \f(m,n)）. 当试验的所有可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率.
2. 利用频率估计概率，必须满足以下条件：①试验要在同样条件下进行，试验数据要真实；②试验的次数要多，要大量重复试验；③随机事件发生频率要逐渐稳定在一个常数附近.
