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    问道手游人口失踪之谜【一解失踪之谜】

    时间：2019-02-02 03:21:42　来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 柠檬阅读网手机站

    　　题目：如图1，在矩形ABCD中，AB=6�，BC=12�，点P从点A沿边AB向点B以1�/s的速度移动，同时，点Q从点B沿边BC向点C以2�/s的速度移动，有一点到终点运动即停止.问：几秒钟后PQ⊥DQ？
    　　一、思路分析
    　　假设x秒钟后PQ⊥DQ，则容易证得△PBQ∽△QCD，此时可用含x的代数式分别表示出线段PB、BQ、QC，利用相似比求出x的值.
    　　解：设x秒钟后PQ⊥DQ，则AP
    　　=x，BQ=2x，∴PB=6-x，QC=12-2x.
    　　若PQ⊥DQ，则∠BQP+∠CQD=90°.
    　　∵∠CDQ+∠CQD=90°，
    　　∴∠BQP=∠CDQ.
    　　∵由矩形ABCD可得：∠B=∠C，
    　　∴△PBQ∽△QCD.
    　　∴=，即=.
    　　解之得：x=6或（x=6是原方程的增根，应舍去）.
    　　∴原方程的解为：x=.
    　　故秒钟后PQ⊥DQ.
    　　二、发现问题
    　　当点P移动到点B时，用去的时间为＝６秒，此时点Q恰好移动到点C，且PQ⊥DQ（如图2），为什么在上述求解过程中一解（x=6）会失踪呢？让我们来一起探讨这个问题.
    　　三、失踪之谜
    　　原来，在上述求解过程中（如图1），我们利用了△PBQ∽△QCD.但是，在图2中，当x=6时，△PBQ∽△QCD已经不复存在，故不能求出x=6.
    　　四、另辟蹊径
    　　怎样才能不漏解呢？我们可以在删除增根时就考虑，当 x=6时，图形是否符合题意，也可以借助直角三角形用含x的代数式分别表示出ＰＤ２、ＰQ２、QＤ２.若PQ⊥DQ，则有ＰＤ２＝ＰQ２＋QＤ２，从而可以求得x.
    　　 解：在Rt△APD中，
    　　ＰＤ２＝ＡＰ ２＋ＡＤ２＝x２＋１４４.
    　　在Rt△PBQ中，
    　　ＰQ２＝ＰＢ２＋ＢＱ２＝（6-x）2+（2x）2=5x2
    　　-12x+36.
    　　在Rt△QCD中，
    　　DQ２＝QC２＋CD２＝（12-2x）2+62=4x2
    　　-48x+180.
    　　若PQ⊥DQ，则在Rt△PQD中，
    　　ＰＤ２＝ＰQ２＋QＤ２.
    　　∴ x２＋１４４=5x2-12x+36+4x2-48x
    　　+180，
    　　即2x2-15x+18=0，
    　　解之得：x1=6，x2=.
    　　∴ 6秒或秒后PQ⊥DQ.
    　　
    　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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