立体几何知识点总结【七\立体几何】

时间：2019-03-12 03:26:26　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一星题：立足概念，夯实基础　　二星题：立足重点，查漏补缺　　三星题：立足难点，提升能力　　　　一星题　　1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
　　①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
　　（A） ①② （B） ①③ （C） ①④ （D） ②④
　　2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
　　（A） 2+（B）（C）（D） 1+
　　3．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为
　　（A） πR3 （B） πR3 （C） πR3 （D） πR3
　　4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
　　（A）若l⊥m，m?奂α，则l⊥α （B）若l⊥α，l∥m，则m⊥α
　　（C）若l∥α，m?奂α，则l∥m （D）若l∥α，m∥α，则l∥m
　　5．已知a=（0，-1，1），ｂ＝（1，2，-1），则ａ与ｂ的夹角等于
　　（A） 90° （B） 30° （C） 60° （D） 150°
　　6．三棱柱ABC-A1B1C1的各个棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
　　（A） 30° （B） 45° （C） 60° （D） 90°
　　
　　二星题
　　7．四面体S-ABC的各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则直线EF与直线SA所成的角的大小为
　　（A） 90° （B） 60°
　　（C） 45° （D） 30°
　　8．如图1所示，这是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=．
　　9．如图2所示，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′A，A′B，A′C，P为A′C的中点．求证：（1） EP∥平面A′FB；（2）平面A′EC⊥平面A′BC；（3） AA′⊥平面A′BC．
　　10．如图3所示，已知在△AOB中，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，点D为AB的中点．若△AOC由△AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B－AO－C的大小为θ．（１）当平面ＣＯＤ⊥平面ＡＯＢ时，求θ的值；（２）当θ∈，时，求二面角Ｃ－ＯＤ－Ｂ的余弦值的取值范围．
　　
　　三星题
　　１１．直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．
　　１２．如图４所示，四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＳＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＳＤ＝２ａ，AD=a，点Ｅ是ＳＤ上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）．（１）求证：对任意的λ∈（0，2］，都有AC⊥BE；（２）设二面角Ｃ-ＡＥ-Ｄ的大小为θ，直线ＢＥ与平面ＡＢＣＤ所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．
　　１３．如图５所示，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面VAB⊥侧面VBC．（１）求证：VA⊥AD；（２）设直线VD与平面VBC所成的角为θ，平面VAD与平面VBC所成锐二面角为φ．试判断θ与φ的大小关系，并证明你的结论．
　　
　　【参考答案】
　　１．Ｄ２．Ａ３．Ａ４．Ｂ５．Ｄ６．Ｃ
　　７．Ｃ（提示：如图６所示，四面体S-ABC为正四面体，设SB的中点为G，则GE=GF=. ∵ 在等腰△SFC中，EF为底边SC上的高，可求得EF=a， ∴ △GEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，∠EFG=45°．又∵ GF∥SA， ∴ 直线EF与直线SA所成的角的大小为45°）
　　８．（提示：如图７所示，几何体为直三棱柱）
　　９．证明：（１） ∵ Ｅ，Ｐ分别为ＡＣ，Ａ′Ｃ的中点， ∴ ＥＰ∥Ａ′Ａ，又Ａ′Ａ?奂平面Ａ′FＢ，ＥＰ?埭平面Ａ′FＢ，∴ ＥＰ∥平面Ａ′ＦＢ．
　　（２） ∵ ＥＦ⊥Ａ′Ｅ，EF∥BC， ∴ ＢＣ⊥Ａ′Ｅ．又ＢＣ⊥ＡＣ， ∴ ＢＣ⊥平面Ａ′ＥＣ． ∵ ＢＣ?奂平面Ａ′ＢＣ，∴ 平面Ａ′ＢＣ⊥平面Ａ′ＥＣ．
　　（３）在△ＡＡ′Ｃ中， ∵ Ｅ为ＡＣ的中点， ∴ ＡＥ＝ＥＣ. 又AE＝Ａ′Ｅ， ∴ △AA′C为Rt△，AC为其斜边，∴ Ａ′Ａ⊥Ａ′Ｃ．又由（２）知ＢＣ⊥平面Ａ′ＥＣ， ∴ ＡＡ′⊥ＢＣ， ∴ Ａ′Ａ⊥平面Ａ′ＢＣ．
　　１０．解：（１）如图８所示，以Ｏ为原点，以平面ＯＢＣ内垂直于ＯＢ的直线为ｘ轴，以ＯＢ，ＯＡ所在的直线分别为ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系，则Ａ（０，０，２），Ｂ（０，２，０），Ｄ（０，１，）． ∵ OB⊥AO，OC⊥AO， ∴ ∠COB为二面角B-AO-C的平面角， ∴ ∠COB＝θ，点Ｃ坐标为（２ｓｉｎθ，２ｃｏｓθ，０）.
　　设n1＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）为平面ＣＯＤ的一个法向量，由n1•＝0，n1•＝0可得y1+z1＝0，2x1sinθ+2ｙ1ｃｏｓθ＝0.取z1＝ｓｉｎθ，则n1＝（ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ，ｓｉｎθ）．设n2＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）为平面ＡＯＢ的一个法向量，由n2•＝0，n２•＝0得2z2＝0，2ｙ2＝0.取ｘ2＝1，解得n2＝（１，０，０）. 又由平面ＣＯＤ⊥平面ＡＯＢ得n１•n2＝０， ∴ ｃｏｓθ＝０，即θ＝．
　　（２）设二面角Ｃ－ＯＤ－Ｂ的大小为α. ∵ n1＝（ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ，ｓｉｎθ）为平面ＣＯＤ的一个法向量，当θ∈，时，ｃｏｓθ＜0，-ｓｉｎθ＜0，ｓｉｎθ＞0， ∴ n1指向平面ＣＯＤ内． ∵ 平面ODB?奂平面OAB，n2＝（１，０，０）为平面ＡＯＢ的一个法向量，∴ n2也为平面ODB的一个法向量. ∵ n2指向平面ODB外， ∴ 角α的大小等于向量n1，n2夹角的大小． ∵ θ∈，， ∴ ｃｏｓθ0， ∴ tanθ•tanφ=1?圳θ+φ=?圳sinφ=cosθ?圳=?圳λ2=2. 又λ∈（0，2］， ∴ λ＝．
　　１３．（１）证明：如图１１所示，作AE⊥VB，∵ 侧面VAB⊥侧面VBC，VB为两者的交线， ∴ AE⊥侧面VBC， ∴ AE⊥BC．又∵底面ABCD为矩形， ∴ AB⊥BC， ∴ BC⊥平面AEB． ∵ VA?奂平面AEB， ∴ BC⊥VA． ∵ AD∥BC， ∴ VA⊥AD．
　　（２）解：设平面VAD∩平面VBC=l.∵ BC∥AD，BC?埭平面VAD， ∴ BC∥平面VAD. ∵ 平面VBC∩平面VAD=l， ∴ BC∥l．
　　由（１）可得BC⊥平面AEB， ∴ BC⊥VB． ∵ BC∥l， ∴ VB⊥l．又∵ VA⊥AD， ∴ VA⊥l． ∴ ∠AVB是平面VAD与平面VBC所成锐二面角φ的平面角，即∠AVB=φ．
　　设D在平面VBC上的射影为F，连接VF，则∠DVF为直线VD与平面VBC所成的角， ∴ ∠DVF=θ．
　　由AD∥BC可得AD∥平面VBC， ∴ AE=DF．在Ｒｔ△VEA中，AE=VAsinφ；在Ｒｔ△VFD中，DF=VDsinθ， ∴ ==. 由（1）得VA⊥AD， ∴ VD为Rt△ADV的斜边， ∴ >1， ∴ sinφ>sinθ. 又φ，θ∈0，，根据正弦函数的单调性可得φ>θ．

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