数列应用题的解法|六年级分数应用题50道
时间：2019-02-23 03:25:29 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率、减薄率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.因此,近几年的高考题中数列应用题出现的频率较高. 这就要求同学们要善于观察题设特征,联想有关数列知识和方法,迅速确定解题方向,提高解题速度.
一、数列应用题的解题步骤和关键
(一) 解数列应用题,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语义中的数学关系,把应用问题数学化、标准化,然后利用所学数学知识解决它. 这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力.解题的步骤可用如下框图加以明示:
(二)抓住解题的三个关键:
1. 事理关:需读懂题意,明确问题的实际背景.
2. 文理关:需将实际问题的文学语言转化为数学符号语言.
3. 数理关:需要较扎实的数学知识解决已经由前两关转化的数学问题.
例1 下图为一台冷轧机的示意图,冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(Ⅰ) 输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r■,则冷轧机至少需要多少对轧辊?
(一对轨辊的减薄率=■)
(Ⅱ) 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为160 mm,若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检修,请计算L1、L2、L3,并填入下表. (轧钢过程中,带钢厚度不变,且不考虑损耗)
分析 解题的关键是正确理解轧钢过程中,带钢每经过一个轧辊的厚度变化规律,若考查连续几对轧辊,则会发现带钢厚度的值成等比数列.
解 (Ⅰ) 厚度为α的带钢经过减薄率为r0的第一对轧辊后,厚度变为α(1-r0),再经过第二对轧辊后,其厚度变为α(1-r0)2,因此经过第n对轧辊后,带钢厚度为α(1-r0)n.
依题意,α(1-r0)n≤β,即(1-r0)n≤■.
由于(1-r0)n>0,■>0,可对上式两边取对数,得
nlg(1-r0)≤lg■,由于lg(1-r0)60%,■+(-■)(■)n>■,(■)n■≈6.5720.
至少需要7年,绿化率才能超过60%.
[训练题]
1. 假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案:(Ⅰ)每年年末加1000元;(Ⅱ)每半年结束时加300元. 请你选择.
(1) 如果在该公司干10年,问两种方案各加薪多少元?
(2) 对于你而言,你会选择其中的哪一种?
2. 某企业去年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降. 若不进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元. 今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+■)万元(n为正整数).
(Ⅰ) 设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式;
(Ⅱ) 依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
3. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少■,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加■.
(1) 设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;
(2) 至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
[参考答案]
1. 方案的选择是要通过计算、通过推理来比较方案1与方案2之间的大小关系,之后作出判断.
设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元,则an=1000n;设方案二第n个半年加薪bn,因为每半年加薪300元,则bn=300n;
(1) 在该公司干10年(20个半年),
方案1共加薪S10=a1+a2+…+a10=55000元;
方案2共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+■×300=63000元.
(2) 设在该公司干n年,两种方案共加薪分别为:
Sn=a1+a2+…+an=1000×n+■×1000=500n2+500n,
T2n=b1+b2+…+b2n=2n×300+■×300=600n2+300n.
令T2n≥Sn即:600n2+300n>500n2+500n,解得n≥2,当n=2时等号成立.
所以,如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案;如果只干2年,随便选哪种均可;如果只干1年,当然选择第一方案.
2. (Ⅰ) 依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;
Bn=500[(1+■)+(1+■)+…+(1+■)]-600=500n-■-100.
(Ⅱ) Bn-An=(500n-■-100)-(490n-10n2)
=10n2+10n-■-100=10[n(n+1)-■-10].
因为函数y=x(x+1)-■-10在(0,+∞)上为增函数,
当1≤n≤3时,n(n+1)-■-10≤12-■-100.
∴ 仅当n≥4时,Bn>An.
答:至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
3. (1) 第1年投入为800万元,
第2年投入为800×(1-■)万元,…
第n年投入为800×(1-■)n-1万元,
所以,n年内的总投入为:
an=800+800×(1-■)+…+800×(1-■)n-1
=■800×(1-■)k-1=4000×[1-(■)n].
第1年旅游业收入为400万元,
第2年旅游业收入为400×(1+■),…,
第n年旅游业收入400×(1+■)n-1万元.
所以,n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+■)+…+400×(1+■)■
=■400×(■)k-1
=1600×[(■)n-1].
(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn-an>0,即1600×[(■)n-1]-4000×[1-(■)n]>0.
令x=(■)n,代入上式得:5x2-7x+2>0.
解此不等式,得x1(舍去),即(■)n
