【分类例谈概率中的数学思想】统计概率内容的数学思想有什么

时间：2019-05-30 03:20:45　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一、分类讨论思想　　分类讨论思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化分为简单而熟悉的问题进行解决。只是在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重不漏。
　　例1 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，求甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率。
　　解：以“甲、乙二人一次各抽取一题”为基本事件的总数是10×9=90。
　　（1）只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；
　　（2）只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；
　　（3）甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30。
　　故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24+24+3090=1315。
　　二、数形结合思想
　　数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，在解题过程中，多从形的角度审视和挖掘数所代表的本质，借助图形的直观性，可更好地解题。
　　例2 用红、黄、蓝三种不同的颜色给图1中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
　　（1）3个矩形颜色都相同的概率；
　　（2）3个矩形颜色都不同的概率。
　　解：所有可能的基本事件共有27个，如图2所示。[TP3-X5.tif,BP][TS（1][HT6H]图2[TS）]
　　（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图2知，事件A的基本事件有1×3=3个，故P（A）=327=19。
　　（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P（B）=627=29。
　　点评：本题也可以用分类讨论的方法求解，但画出树形图来计算更加一目了然。图中每一条路径都清楚地表示了三个矩形颜色的一种可能情形。一般地，树形图可分为若干阶段（本例中分为三个阶段），每一阶段中的分叉可能是两个也可能不止两个，而且每一分叉的概率未必相同。
　　三、转化与化归思想
　　所谓“化归”就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过乙问题的解去求甲问题的解，这就是“化归”的思想。
　　1.运用公式P(A)+P(A-)=1进行化归。
　　例3 如图3，把一个体积为64cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的小正方体，从中任取一块，求这一块至少有一面涂有红漆的概率。
　　解：直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难，可以转化为求其对立事件的概率，即求“未涂红漆”的小木块的概率。经分析知未涂红漆的小木块有(4－2)3=8个，故至少一面涂有红漆的小木块有64－8=56个，所以所求事件的概率为5664=78。
　　2.将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率。
　　例4 一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率为[CD#6]。
　　解：记A1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，A2表示“掷3次硬币有次出现正面”，A3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，A表示“掷3次硬币出现正面”。因为每次掷硬币会出现正反面两种情况，所以掷3次硬币总情形数为2×2×2＝8。又因为A1包含三个基本事件，A2包含三个基本事件，A3包含一个基本事件，且易知A1，A2，A3互斥。
　　所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=38+38+18=78。
　　四、方程思想
　　方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决一些概率问题时，如能根据题目中给出的数量关系，列出方程或方程组，往往可使问题得到解决。
　　例5 为了保证出版物的质量，出版社经常由两人独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，其中有92处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错误？他们两人可能遗漏了多少处错误？
　　解：设共有x处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）是120x。
　　另一方面，对于乙发现的110处错误，甲发现了92处，故甲的校对能力又可以表示为92110，显然120x=92110，解得x=120×11092≈143。
　　又假设两人遗漏了y处错误，由集合论中的公式Card(A∪B)+Card(B)－Card(A∩B)可得143－y=120+110－92，解得y=5。
　　由此可知，校样中有143处错误，他们两人可能遗漏了5处错误。
　　（作者单位：河南省宝丰第一高级中学）

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