不等式的考查与研究|高中四个均值不等式
时间：2019-04-07 03:24:02 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089 (2012)02-0248-04 【命题意图猜想】 1.关于不等式在小题中的考查，一般可分三个主要方面，一是不等式的解法，二是线性规划，三是基本不等式．在2011年高考中考查了线性规划，在2010年高考中考查了解不等式，猜想在2012年高考中很可能出现以其它章节的知识为载体考查基本不等式的应用．
2．从近几年高考试题分析，不等式的解法是每年高考的必考内容，特别是一元二次不等式，它与一元二次方程、二次函数相联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终．解不等式的题目，有时会单独出现在选择题或填空题中，以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现，难度不大，属于中低档题，有时会与函数、三角、解析几何、向量等知识相交汇，作为解题工具出现在解答题中．预测2012年高考．不等式仍将与其他知识交汇进行考查，重点考查学生的计算能力．
3．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主耍考查点．重点考查学生分析问题、解决问题的能力．
4．通过对近几年高考试题的统计和分析可以发现，若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆、添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题．预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．
【最新考纲解读】
1．一元二次不等式
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
2.二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
3．基本不等式
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
【回归课本整合】
1.一元二次不等式的解法
（1）ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c0及a0或Δ=0或Δ0,当zb的最值情况和z的一致；若b0)的单调性求最值.
【方法技巧提炼】
1.如何确定含参二次不等式的分类标准
含参数的二次不等式的解法常常设计到参数的讨论问题，如何选择讨论标准，始终是学生不易掌握的课题.实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解.
分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；
分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图像的开口方向；
分类标准三：对判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；
分类标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小.
例1 解关于x的不等式［(m+3)x-1］(x+1)>0(m∈R). 解：首先对二次项系数是否为零进行讨论，然后再讨论系数的正负,从而确定分类标准.
①当m=-3时，原不等式为-(x+1)>0，∴不等式的解为x-3时，原不等式可化为x-1m+3(x+1)>0
∵1m+3>0>-1,∴不等式的解为x1m+3.
③当m-1原不等式的解集为{x|-1-3时，解集为{x|x1m+3};当-4-4时，解集为{x|-1b，观察给定的不等式的解集的结构形式，若为（-∞,x0）意味着不等式的一次项系数为负，且x0为ax=b方程的根；若为(x0,+∞)意味着不等式的一次项系数为正，且x0为ax=b方程的根.
(2)以二次不等式为背景：如ax2+bx+c>0(a≠0),观察给定的不等式的解集的结构形式，若为（x1,x2）意味着不等式的二次项系数为负，且x1、x2为ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根；若为（-∞,x1）∪(x2,+∞),意味着不等式的二次项系数为正，且x1、x2为ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.
（3）以分式不等式为背景，利用解分式不等式的步骤转化为高次不等式，然后利用数轴标根法确定，或转化为（1）（2）背景的思路去确定.
例2 不等式axx-12}，则a的值为
答案：12
解析：按照分式不等式的解法首先转化为整式不等式，然后利用以二次不等式为背景的思路进行解决。
axx-12}
则有a-1kx+b或y0（或Ax+By+C 例5 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
答案：B
解析：设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则0≤x≤4
0≤y≤8
20x+10y≤100,求z=400x+300y最小值. z=400x+300yy=-43x+z300可知使得直线的截距最小，目标函数最小.可求出最优解为（4，2），故z=2200，故选B.
【点评】此题的关键在于根据实际问题抽象出数学问题，即得到约束条件和目录函数，然后采用“图解法”进行求解.注意到此题恰好在交点处是整数点，所以问题变得比较简单了，
6.线性规划和其它知识交汇点
与线性规划相关的知识非常丰富，如与不等式、函数、函数最值等，所以这些为命题者提供了丰富的素材，与线性规划相关的新颖试题也就层出不穷，此类题目着重考查划归思想和数形结合思想，掌握线性规划问题的“画——移——求——答”四部曲，理解线性规划解题程序的实质是解题的关键.
例6 设x,y满足约束条件3x-y-60,
x-y+20,
x0,y0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12，则2a+3b的最小值为( ).
A.256 B.83 C.113 D. 4
答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图1所示阴影部分,当直线y=-abx+zb过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,直线的截距最大，此时目标函数取得最大12,即4a+6b=122a+3b=6, 而
2a+3b=(2a+3b)2a+3b6=136+(ba+ab)≥136+2=256,故选A.
【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求2a+3b的最小值，采用“凑倒数”技巧，进而用基本不等式解答.
7.构造利用均值不等式的技巧
均值不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用均值不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合均值不等式，往往需要拆、添、拼凑因式等技巧，凑成和或积为定值.然后构造出均值不等式的形式再进行求解.
例7（1）求y=6x2+1x2+4的最大值.（2）求函数y=x2+4x2+1的最小值.
解：（1）y=6x2+1x2+4=6x2+1(x2+1)+3=6x2+1+3x2+1623=3
即y的最大值为3.当且仅当x2+1=3x2+1时，即x2=2,x±2时，取得此最大值.
（2）y=x2+4x2+1=x2+1+4x2+1-12.4-1=3.
∴y的最小值为3，当且仅当4x2+1=x2+1,即(x2+1)2=4,x2+1=2,x=±1时取得此最小值.
【点评】（1）利用“拆”的技巧；（2）利用“添”的技巧；不论用什么技巧都应特别注意等号成立的条件.
8.均值不等式的一个重要应用
类似题型：已知a,b,c,d,x,y∈R+，若ax+by=1，cx+dy的最小值.可以采用“乘常数，凑倒数”的变形技巧，然后利用均值不等式求其最值.如：
(cx+dy)×1=(ax+by)×(cx+dy)=ac+bd+bcyx+adxyac+bd+2abcd=(ac+bd)2
当且仅当bcyx=adxy等号成立.
例9 已知M为ΔABC内一点，且AB?AC=23，∠BAC=30°已知ΔMBC、ΔMCA和ΔMAB的面积分别是12、x、y，则1x+4y的最小值为（ ）
A.9 B.18 C.16 D.20
答案：B
解析：AB?AC=|AB|?|AC|cos30°=23|AB|?|AC|=4；S=12|AB|?|AC|sin30°=1.
又S=12+x+y=1,x+y=12.
1x+1y=(1x+4y)(x+y)?2=2(5+yx+4xy)≥18. 当且仅当yx=4xy,又x+y=12,则当x=y=14等号成立.
【点评】此题的关键通过三角形面积相等得到等式关系x+y=12,然后采用“乘常数，凑倒数”的技巧，求得1x+1y的最小值.
【考场经验分享】
1.解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”，其关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假期图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检测，以“验明正身”.
2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值式时，要注意：当b>0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0,b>0.
(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想.
6．一元二次不等式的界定．对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别．如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0它实际上是一个一元一次不等式；只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式．
7.当判别式Δ0(a>0)的解集为R：ax2+bx+c0)的解集为.二者不要混为一谈.
8．本热点的位置一般在填空题的前两道，难度不大，应该是得全分的题目．解不等式的题目，一般结合函数的性质，因此充分利用函数的性质解不等式最为关键，作为选择题，取值验证的方法是优先考虑的；线性规划的题目多是求目标函数的最值，清晰的画出可行域是解答问题的根本，待值验证是一个巧妙的方法．利用均值不等式求最值问题，特别注意等号的验证，如果没有头绪，对于含有多个字母的式子求最值问题令个字母相等进行验证是一个解题技巧。
