话有三说巧说为妙 [巧选变量,妙解难题]

时间：2019-03-12 03:27:05　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　在分析求解许多含参数的数学问题时，都涉及常量与变量的区分和选择．确定题目中处于突出和主导地位的变量，是解题的重中之重．然而，受惯性思维的影响，很多同学不能辩证地选择变量．实际上，我们可以人为地突出某个常量或变量的地位，巧选变量，妙解难题．
　　一、巧选字母参数为变量
　　例1对任意a∈［-1，1］，函数ｆ（ｘ）=x2+（a-4）x+4-2a>0恒成立，求x的取值范围．
　　分析：初看题意，似乎是要解关于x的一元二次不等式，但若把a看成变量，把x看成系数，那么原题就可转化为关于a的一次不等式（x-2）a+x2-4x+4>0在a∈［-1，1］上恒成立的问题．
　　解：令ｆ（a）=（ｘ-2）ａ+ｘ2-4ｘ+4＝（ｘ-2）ａ+（ｘ-2）2，则ｆ（ａ）是以ａ为自变量的一次函数．由题意可知，ｆ（ａ）＞0在a∈［-1，1］上恒成立．
　　当ｘ＝2时，ｆ（a）=0，不合题意；
　　当ｘ≠2时，有ｆ（1）>0，ｆ（-1）>0.解得ｘ＜1或x>3．
　　综上可得，x的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．
　　评析：在例1中，已知a的取值范围求x的取值范围，是典型的解不等式的逆向问题．如果没有认真分析参量a与变量x的特征，按照惯性思维，将题目视为关于x的不等式，进行分类讨论并求解，就很容易陷入困境．在解此类问题时应辩证地看待参量和变量的地位，简化解答过程．
　　例2已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
　　分析：分析题意，似乎是要解关于x的一元三次方程，直接求解的难度很大．有些同学想到利用导数讨论函数的图象，但极值点含有字母a，无法通过运算得出结果．若将a视为变量，把原方程转换成关于a的一元二次方程，解题的难度就能降低不少．
　　解：将a看做变量，则原方程转换为关于a的一元二次方程a2-（x2+2x）•a+x3-1=0. 整理得［a-（x2+ｘ+1）］［a-（ｘ-1）］＝0，解得a=x2+ｘ+1或a=x-1．由题意可知，方程有且只有一个实根， ∴ x=1+a，而方程x2+ｘ+1-a=0无解． ∴ Δ=1-4•（1-ａ）＜0，解得ａ＜．
　　评析：例2也可通过配凑法来解，通过加减x2把方程转化为x3-ax2-x2+x2-2ax+a2-1=0，即x2（x-a-1）+（x-a-1）（x-a+1）=（x-a-1）（x2+x+1-a）=0. 由题意可知只有x=1+a满足题意，方程x2+x+1-a=0没有实根．但这种解题思路技巧性很强，同学们较难掌握．不如根据参量的特征，通过变换变量，巧妙地将陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程.这也是因式分解的重要途径．
　　二、巧选静态常数为变量
　　在解题时，不仅字母参量可以被看做变量，常数同样也可以被看做变量．
　　例3已知9cosB+3sinA+tanC=0，sin2A-4cosBtanC=0，求证：tanC=9cosB．
　　分析：我们注意到，在9cosB+3sinA+tanC=0中，常数系数“9” 与“3”有平方关系，再结合sin2A-4cosBtanC=0 （①）具有判别式的数据特征，就可将常数视为变量求解．
　　证明：令3=x，可得关于x的方程cosB•x2+sinA•x+tanC=0 （②）．
　　若cosB=0，由①式和②式计算得sinA=0，tanC=0，∴ tanC=9cosB成立；
　　若cosB≠0， ∵②式的判别式Δ=sin2A-4cosBtanC，而由①式可知Δ=0， ∴ 方程②的两个实数根x1=x2=3. 根据韦达定理，x1•x2==9，即tanC=9cosB．
　　综上可证，tanC=9cosB．
　　评析：例3的解法站在方程的角度审视问题，将常数视为变量．这种方法打破了思维定势，便于凸显条件间的各种联系，能使同学们从整体上把握问题．
　　例4函数ｆ（ｘ）=+的值域为；当ｆ（ｘ）=4时，x的值为．
　　分析：直接用代数解法求解例4会比较困难，如果我们能联想到两点间的距离公式，将常数看成变量，再结合几何意义求解，就会简单得多．
　　解： ∵ ｆ（ｘ）=+=+，令1＝y2，则ｆ（ｘ）=+，可以看做动点P（x，1）到两个定点A（-1，0），B（1，0）的距离之和. 如图1所示，设A（-1，0）关于ｙ＝1的对称点为C（-1，2），易知ｆ（ｘ）≥BC=2， ∴ 所求值域为［2，+∞）．
　　当ｆ（ｘ）＝4时，PA+PB＝4＞AB＝2，由圆锥曲线定义可知，P点在以 A（-1，0），B（1，0）为焦点、长轴长为4的椭圆+＝1上，其中a=2，半焦距c=1，∴ ｂ＝＝，∴椭圆的方程为+＝1. 将ｙ2＝1代入方程，解得ｘ＝±．
　　评析：变量反映的是变化过程，而常数是变量在某一特定时刻的值. 在解题时，如果能让常量“起死回生”，往往会起到事半功倍的效果．
　　三、巧设新函数再造变量
　　有些题目中的变量虽然特征比较明显，却无法直接使用．此时我们可以通过分离常数、分离变量、恰当变形等方式，构造新函数，再造新变量．
　　例5设函数ｆ（ｘ）＝（x-a）2 lnx，a∈R. 求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有ｆ（ｘ）≤4e2成立．（注：e为自然对数的底数）
　　分析：按照常规思路，我们首先会对函数求导，然后通过分类讨论直接求解. 但这种解法涉及大量的运算，解题时很容易出错．如果我们能对函数进行变形，把它转化为新函数，然后根据新函数中的变量求解，那题目就会变得简单得多．
　　解：当x∈（0，1］时，lnx≤0， ∴ ｆ（ｘ）＝（x-a）2lnx≤0， ∴ ｆ（ｘ）≤4e2恒成立.
　　当x∈（1，3e］时，lnx>0，由（x-a）2lnx≤4e2恒成立可解得x-≤a≤x+．
　　令g（ｘ）＝x-， ∵ ｇ′（ｘ）＝1-′＝1+（）′＝1+••＝１＋（lnx）->0恒成立，∴ ｇ（ｘ）在（1，3e］内单调递增， ∴ｇ（ｘ）ｍａｘ＝g（3e）=3e-≤a．
　　令h（x）=x+，则h′（ｘ）=１-（lnx）-. 令h′（ｘ）=0，解得x=e．可得h（ｘ）在（1，e］上单调递减，在（e，3e］上单调递增，∴ h（ｘ）min=h（e）=3e≥a ．
　　综上可得，a的取值范围是3e-≤a≤3e．
　　评析：例5是2011年高考数学浙江卷（理科）第22题第（2）题，标准答案中估算零点的解法对同学们来说难度很大．如果能构造恰当的函数，根据新函数再造变量，找到新变量与所求目标的简洁联系，倒也不失为一种好方法．

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