[平方根与立方根典型习题解读]

时间：2019-02-07 03:18:47　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　《数的开方》的第1节学习了初中阶段六种运算中的最后一种数的运算――开平方、开立方（统称开方），其结果分别称为平方根与立方根（统称方根）.现以本节的典型习题为例，分类解读如下，供同学们学习时参考.
　　
　　一、平方根与立方根
　　
　　例1（1）求下列各数的平方根：289，6.25，2 ，，.
　　（2）求下列各数的立方根：-2 ，0.125， .
　　（3）求下列各式的值：①× ，②÷ .
　　（4）用计算器求下列各式的值（保留四个有效数字）： - ，- .
　　解析：（1）将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根.因为172=289，所以 =17（即289的算术平方根是17），因此289的平方根是±17（或± =±17）.以下各数请同学们完成.答案：±17，±2.5，± ，±2（不是 4），±3（ ≠-9）.
　　（2）请同学们完成.答案：- ，0.5，（不是9，该处是求 =9的立方根）.
　　（3）请同学们完成.答案：① ，②- .
　　（4）请同学们完成.答案：-44.81，0.950 4.
　　点评：要重视例1这类课本中的基本训练题.
　　①要搞清平方根、算术平方根与立方根的意义及性质的异同，防止混淆.例如，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而正数的立方根是一个正数；负数没有平方根，但有立方根，负数的立方根是一个负数；0的平方根与立方根都是0.在实数范围内，任何数都能进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算.
　　②要明确开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，学会利用平方与立方运算求平方根与立方根，也要学会利用平方与立方运算检验开平方与开立方是否正确.
　　③求、这类数的平方根或算术平方根时，一定要先将它们化简，再求解.
　　④当根号下的被开方数是两个或两个以上数的和或差时，如第（3）题中的第②题，应先求其和或差，再进行开方运算.
　　
　　二、三种非负数
　　
　　例2若和互为相反数，则 2- 27 =.
　　解析：根据相反数的意义，得 + =0.再由非负数的性质，得1-3a=0，8b-3=0.解得a= ，b = .
　　∴ 2=2 = 82 = 64.
　　∴ 2- 27 = 64 - 27 = 37.
　　点评：正数和0统称为非负数，初中数学中常见的非负数有以下三种：实数的绝对值、实数的偶次幂（实数的平方是其中最简单的情况）与非负实数的算术平方根.以上是利用“若几个非负数之和为0，则每个非负数必为0”这一非负数的性质列方程组求解，例2这种类型的题是各地中考命题的一个热点.要特别注意非负数a的算术平方根的两个非负性，即a≥0， ≥0.
　　
　　三、数（实数）的估算与大小比较
　　
　　例3（1）估计 +1的值是（）.
　　A. 在2和3之间 B. 在3和4之间
　　C. 在4和5之间 D. 在5和6之间
　　（2）估计的大小应（）.
　　A．在9.1和9.2之间 B. 在9.2和9.3之间
　　C．在9.3和9.4之间 D. 在9.4和9.5之间
　　解析：（1）本题是由课本第7页习题12.1的第4题（在哪两个整数之间？）改编而成.
　　∵ ＜＜，即3＜＜4，
　　∴ 4＜ +1＜5.故应选C.
　　（2）9.32=86.49，9.42=88.36，又86.49＜88＜88.36，9.3＜＜ 9.4.故应选C.
　　点评：这类估算题既是课本中的重要题型，也是考查《数的开方》内容中考题的热点.它对培养同学们的估算能力有帮助.但对允许将计算器带入考场的地方，这类题就属于简单的基础知识题了.
　　例4（1）比较2.5，-3，的大小，正确的是（）.
　　A．-3＜2.5＜ B． 2.5＜-3＜
　　Ｃ．-3＜＜2.5Ｄ．＜2.5＜-3
　　（2）已知A=n- ，B=3 -2 （n为正整数）．当n≤5时，有A＜B；请用计算器计算当n≥6时，A、B的若干个值，并由此归纳出当n≥6时，A、B间的大小关系为.
　　解析：（1）∵负数小于正数，2.52=6.25＜7，
　　∴-3＜2.5＜ .
　　故应选A.
　　（2）A＞B.
　　点评：有理数的大小比较方法，在实数范围内仍然适用.实数比较大小时，通常取它们的近似值来进行.课本主要介绍了直接法、估算法与计算器计算法等.其他方法（如平方法、求差法、求商法、倒数法等），希望同学们在今后的学习过程中认真加以总结，注意灵活应用.
　　
　　四、平方根与立方根应用题
　　
　　例5（第7页习题12.1第5题）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5 cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62 cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少.（用计算器计算，结果精确到0.1 cm）
　　解析：这是一道数学与物理的综合题.由物理知识，知铁块的体积就是烧杯中减少的水的体积，
　　铁块的棱长为 ≈3.4（cm）.
　　烧杯中减少的水的体积为40.5 cm3，水位下降了0.62 cm，
　　烧杯内部的底面面积为cm2，故烧杯内部的底面半径为 ≈4.6（cm）.
　　点评：通过本章的学习，同学们可体验到数学源于实际，又应用于实际.解实际问题，首先要读懂题意，善于将它转化为数学问题.
　　
　　1. 如果一个实数的平方根、算术平方根、立方根是它本身，那么这个实数分别是什么？
　　2. 已知一个正数的平方根是3a-1与-a+3，求29a+2的立方根.
　　 3. 已知 +（2y-x-14）2=0，求的值.
　　 4. 比较大小：（1）- +3- +3；
　　（2） 0.5.
　　5.一个正方体的体积为18.49 cm3，求这个正方体的棱长与表面积.（精确到0.01） L
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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