从中考数学看填空题的解法_中考数学试卷及答案
时间：2019-01-30 03:36:11 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
填空题是只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题.填空题考查目标集中,形式灵活,答案简短明确,评分客观公正,是中考数学中的三种常考题型之一. 一、中考填空题的主要特点
填空题大多能在课本中找到原形或背景,通常可以化归为我们熟知的题目或基本题型.从难度来看,填空题在中考中多属中、低档题,概念性强,知识点跨度大,有些填空题具有创新性,以能力立意,重视知识的发生发展过程,突出理性思维,有些填空题重视考查知识形成过程的思想和方法,在知识网络的交汇点设计问题. 从题型来看,填空题分为定量型和定性型两种,前者主要考查计算能力,同时也考查同学们对题目中所涉及的数学公式掌握的熟练程度;后者考查了同学们对重要的概念、定理和性质等数学基础知识的理解和运用的程度.
填空题的解答要求是:①所填结果要完整,限制条件不可缺;②计算型填空题要运算到底,结果要规范;③填空题所填结论要符合初中数学课标要求.
二、填空题的常用题型
下面对部分地区中考数学填空题加以分析,帮助同学们归纳中考填空题的常见题型及常用解法.
1.计算型
这类填空题主要考查同学们对基本概念、法则、定理等的理解及运算能力,分为几何计算和代数计算两种.计算型填空题在计算的过程中,要讲究技巧与方法,在推理的过程中,要注重定义、定理、规律的运用,其常用方法是直接法,即根据题干所给条件,直接经过计算、推理,得出正确答案.
例1(2009年齐齐哈尔市)已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个圆的圆心距是 .
解析:由于题目没有指明两圆的圆心与公共弦的位置关系,故要分两圆的圆心在公共弦的同侧和两圆的圆心在公共弦的异侧两种情况来讨论.
解答过程略,答案为(4±■)cm.
评注:(1)在解答的过程中,可以跳过一些不必要的步骤,尽量采用心算的办法,快速求出问题的答案.(2)运用直接法时要注意避免一些不必要的错误.这是一道比较基础却很典型的分类讨论型计算题,关键是要注意两圆的圆心与公共弦的位置关系.几何计算题历年来都是中考的热点问题.几何计算是以推理为基础的几何量的计算,主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算.从图形上分类可分为三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算等几类.解几何计算题的常用方法有:几何法、代数法、三角法等.
2.概念型
有诸多填空题,涉及一些重要的数学定义、公理、定理、性质或一些似是而非、容易混淆的概念和性质,借此考查考生掌握概念的程度.这就需要考生在审题时,应特别注意辨析有关概念的本质特性,从而保证所填答案的正确性.一般说来,这类题目运算量小,侧重判断.常用的方法有:直接法、验证法等.
例2(2009年武汉市)如图,直线y=■x与双曲线y=■(x>0)交于点A.将直线y=■x向右平移■个单位后,与双曲线y=■(x>0)交于点B,与x轴交于点C,若■=2,则k=.
解析:由y=■x向右平移■个单位可知,C(■,0).分别过点A、B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,垂足分别为D、E.设OD=a,把x=a代入y=■x,可得y=■a,所以A(a,■a),故k=■a2.由题知,△AOD∽△BCE,可得■=■=■=■,所以BE=■AD=■a,CE=■OD=■a,可知OE=■+■a,则B(■+■a,■a),所以k
=(■+■a)・■a,即■a2=(■+■a)・■a,解得a=0(舍去),或a=3.所以k=■a2=12.
评注:概念型试题虽然涉及的知识单一,但对数学定义、公理、定理、性质的考查要求相对较高.一些基础不扎实的学生,会感到加大了问题的难度,从而造成失分现象.有的同学不知道把y=■x向右平移■个单位有何用意,不知道如何表达点A与B的坐标.为避免这类错误,这就要求同学们在平时的学习中,澄清一些似是而非的认识,理解概念之间的联系与区别.
3.应用型
这类试题在解答时,首先要求同学们在认真阅读材料、理解题意的基础上,将实际问题经过抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,从而得出结论.
例3(2009年陕西省)一家商店将某种商品按成本价提高50%后,标价为450元,又以8折出售,则售出这件商品可获利润元.
解析:本题属方程类中的增长、降低问题.方程(组)是研究现实世界等量关系的最基本的数学模型,求解此类问题的关键是:针对给出的实际问题,设定合适的未知数,找出相等关系,进而解决问题.解此类问题,要注意验证结果是否适合实际问题.
通过分析知,所谓利润就是售出价减去成本价.问题中已知标价为450元,又以8折出售,可求得售出价为450×0.8=360(元),所以只需求出成本价即可.可设该商品成本价为x元,则可列出方程(1+50%)x=450.解得x=300,故可求出这件商品的利润为360-300=60(元).
例4(2009年益阳市)“五一”节,益阳市某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图,转盘被分为8个全等的小扇形).当指针最终指向数字8时,该顾客获一等奖;当指针最终指向2或5时,该顾客获二等奖;若指针指向分界线则重转. 经统计,当天发放一、二等奖奖品共600份,那么据此估计参与此次活动的顾客为人次.
解析:由问题知一个圆形转盘被等分成八个扇形区域,故指针指在每一个区域的可能性相等.由于指针指在获奖的区域为数字8、2、5的可能性有3种,所有可能有8种,所以P(发放一、二等奖)=■,故估计参与此次活动的顾客为600÷■=1600(人).
评注:在近几年的中考中加强了对应用问题的考查,且试题多有创新,以检测同学们运用所学知识解决实际问题的能力,使大家体会到数学的“有用性”.试题的背景有贴近实际的市场经济问题和具有发展性、前瞻性的数据的统计与概率等.统计与概率考查的知识点较多,包括反映离散程度的统计量,补充、绘制统计图表,数据处理的基本方法和基本技能,频率与概率的理解和应用等.同学们在重温这类题的解答过程时,不仅要梳理统计知识,还要能够掌握统计方法.
4.几何折叠型
折叠型问题常要求结合平移、轴对称、三角形相似(全等)、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用,解这类题需要具备扎实的数学基本功、较强的观察力、丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要注意运动过程中的特殊位置,抓住图形旋转前后哪些是不变的量、哪些是变化的量.
例7(2009年河南省)动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .
解析:折叠的实质就是轴对称,本题只要能够抓住轴对称的有关性质,寻找到折叠前后的不变量即可解.由题知,当点Q与点D重合时(如图),点A′离点B最近,此时,A′D=AD=5,在Rt△A′CD中运用勾股定理,可得A′C=■=4,从而可求得BA′=BC-A′C=5-4=1;当点P与点B重合时,点A′离点B最远,此时BA′=BA=3,则点A′在BC边上可移动的最大距离为3-1=2.
评注:本题利用图形翻折的不变性,探索图形在翻折过程中的有关规律,问题的实质是考查轴对称的知识、勾股定理的运用,以及点A在BC上运动的范围.这类试题在近几年中考中不断出现,在图形的变化之中蕴涵了从特殊到一般的探究思想,旨在考查创新意识和探究能力.
三、填空题的常用解法
1.构造法
构造法就是根据题设和结论所具有的性质特征构造出满足条件和结论的数学模型,再借助于数学模型来解决数学问题的一种方法.这种借用一类问题的性质来研究另一类问题的思维方法在解数学问题时常常能起到意想不到的效果.
例8(2009年辽宁朝阳市)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷.如果AO=65cm,CO=15cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为cm2.
解析:本题可这样构造:将△A′OC′以点O为中心逆时针旋转90°,则与△AOC重合.故图中阴影部分面积应等于扇形AOA′与扇形COC′的面积差.由于S扇形AOA′=■,S扇形COC′=■,所以刮雨刷AC扫过的面积为S扇形AOA′-S扇形COC′=■-■=1000π(cm2).
评注:解题时的联想,就是从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动,它是构造的基石.构造法作为一种数学方法,属于非常规思维,它带有试探性和创造性.用构造法解题,见解独到,不循常规,值得同学们在平时的学习中潜心挖掘和大胆尝试.
2.转化法
所谓转化是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程,借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,或运用恰当的数学方法加以变换.转化的目的是要达到将复杂转化为简单,将未知转化为已知,将抽象转化为具体.转化的关键在于观察,通过观察题目中数、式的变化规律,条件与结论之间的关系,题目的结构特点及图形的特征,发现题目中特定的数量关系或变化特征,选出正确的解答方法.
例9(2009年兰州市)阅读材料:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=-■,x1・x2=■.根据该材料填空:已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,则■+■的值为 .
解析:■+■可通分变为■,从而本题转化为求两根的平方和及两根的积.
分析阅读材料可知,x1+x2=-6,x1・x2=3.
所以■+■=■=■=■=10.
评注:(1)正确的转化方法是解决此类问题的关键.许多同学却先解方程x2+6x+3=0,求得x1和x2的值,然后将值代入■+■求得结果为10,这样做计算量大,浪费了宝贵的考试时间,还有一些同学由于x1和x2的值求错,浪费了很长时间,却计算了一个错误结果.(2)观察是基础,是发现问题、解决问题的首要步骤.运用转化法时一定要对问题进行认真观察、思考,有时根据需要,还要建立数学模型,确定如何进行转化.例如本题采用整体代入法,就是通过观察题目中数、式的变化规律,发现题设中的某些部分可以作为一个整体,采用换元或代入的方法解决,从而使问题得到简化.
3.特例法
所谓特例法就是利用符合题设条件的某个特殊图形(数值)代替有关的一般图形(式子),进行演绎推理,以达到解决问题的目的.特例法的关键在于寻找特例,即寻找的特殊图形(数值)必须符合题设的要求,又有利于对问题的分析和解决.其优点是利用简单、特殊的图形(数值),减少了繁杂的计算和推理;缺点是可能会取得不符合题目要求的图形(数值),从而导致错误的结论.
例10 (2008年济南市)如图:等腰直角△ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,若双曲线y=■(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是.
A.1
