小学数学教学设计的基点：学科知识与学生认知冲突的消解
时间：2023-04-10 10:35:04 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
邓珍珍，张新全
(1.合肥师范学院 教师教育学院，安徽 合肥 230601；
2.合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)
教学的本质是促进学生在已有的知识技能基础上获得新的发展。对于小学数学而言，在教学过程中存在着一对主要矛盾关系，即小学生的数学认知发展水平和教师传授的数学知识之间的矛盾。学生已有的数学认知基础和即将学习的新知识之间存在的认知差异，常常会成为学生主动探究、获取新知的动机。教学的过程，就是通过恰当的教学设计和实施，帮助学生消解数学知识与自身认知冲突的失衡，建立起更高层次的认知结构，并形成数学学习的迁移能力。
数学具有抽象性、符号统一性、逻辑严谨性和应用广泛性等基本特点；
而小学生的认知特点是以形象思维为主，逐渐向抽象思维转化。小学生好奇心强，好动好玩，注意力不稳定，不善于理解等，如果教师不能很好地处理数学知识与其认知这对矛盾关系，就会影响教学质量，甚至发展成小学生对数学抵触、畏难的心理。如何有效处理这对矛盾，就成为小学数学教学的重要任务之一。
1.1 数学知识的抽象性
不抽象不数学，数学本身就是抽象的。抽象简单地说就是抛弃事物的非本质属性，抓住事物本质、共同属性的过程。大部分科学都不会直接处理现实对象，而是用“模型”去处理其抽象反映。数学则不同，数学是处理这些抽象模型的抽象反映，是这些模型的一般模式[1]4。小学阶段有两类重要的数学模型：“路程=速度×时间”和“总量=部分+部分”，它们分别对应乘除法和加减法，《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)也要求学生利用这两类模型解决简单的实际问题。
数学是一门只研究形式和关系的学科，其研究对象没有任何物质和能量特征，所以数学具有高度抽象性。例如，小学数学中“射线和直线无限长”“两点确定一条直线”等概念体现了数学的高度抽象性。学生难以理解、感受或想象射线、直线的无限长；
而学生自己动手过任意两“点”画出了不止一条“直线”，又会认为过两点可以画出多条直线。究其原因，是学生在日常生活中难以获得“无限长”的具体形象支撑；
而数学上的点和直线又是没有颜色、重量、粗细等任何物质和能量特征的理想化对象。基于数学这一特点，培养学生的抽象能力便成了数学教学的重要目标[1]4。
1.2 数学表征的符号化
符号化的语言表征是数学最明显的特征之一。数学发展至今，已成为一个符号化的世界，引入了数学符号化语言是其取得如此辉煌的成就和巨大的进展的重要原因之一[2]。数学符号语言是统一性、简洁性、确定性、一般性、概括性的象征[3]6。符号语言的理解和使用也是学生算术思维向代数思维转换的关键点。小学数学常见的数学符号如表1所示。
表1 小学数学常见的数学符号
1.3 逻辑推理的严谨性
数学具有高度的逻辑严谨性，数学结论都是从一些基本的数学概念(或公理)出发，通过严格的逻辑推理而得来。每个数学结论背后都有着强大的、严格的、严谨的逻辑系统。数学上的推理也分为两大类，即合情推理和演绎推理，合情推理又分为归纳推理和类比推理[3]6，具体分类如表2所示。
表2 数学推理的分类
这两类推理功能不同，但相辅相成。合情推理用以探明思路，引发猜想，发现结果；
演绎推理用以证明结论[3]7。推理是研究数学或其他科学领域的过程中必不可少的逻辑思维方式，这也体现了数学的两重性——合情和演绎。
1.4 数学应用的广泛性
数学研究对象涉及现实生活和生产的方方面面，特别是在当今快速发展的信息化时代，数学在大数据统计、计算机开发等领域，发挥着不可替代的作用。同时，自然科学、人文社科、思维科学等，都可以借助数学的抽象性、逻辑严谨性、符号化语言等特征来进行精确、严谨的研究[4]。
“教数学”不是小学数学的首要任务。通过数学教学来育人，通过数学教育发展学生在快速变迁社会中高质量生存所必需的能力、素养和情感，才是小学数学教育的第一要务[1]10。因此，首先需要了解小学生数学认知的基本特点。
2.1 思维形象化
小学阶段的数学认知具有形象化的特点，小学生需要大量具体化、形象化的事物支撑，并通过自身已有的经验进行数学学习。小学数学教学中的许多教学难点是由数学的抽象性和学生思维的形象性之间的矛盾造成的。即使是“简单的”数的认识(如正整数1、2、3……)、一维图形(如点、线段、射线、直线……)等数学内容对于小学生而言也是抽象的、有难度的。因为小学生的认知特点是以形象思维为主，逐渐向抽象思维过渡。“动作—表象—符号”是小学生学习过程的认知顺序，也是学生认知发展的程序。小学生的数学学习有获得形象化、具体化支持的需求，小学阶段又是培养学生逻辑思维、数学素养的初级阶段和关键期，若不处理好这两者之间的关系，将会给学生后期数学学习，甚至其他学科的学习带来不利影响。
2.2 用自然语言表达数学
自然语言是由一定的历史文化自然演变而来的语言，具有区域性、民族性、模糊性和多义性等特点[4]。小学生习惯用自然语言表达数学，这与数学的明确性、严谨性、抽象性等特点不符。用自然语言研究数学烦琐冗长，会限制数学的发展，也正是由此，才促使了后期数学符号化语言的形成。“当数学对象能够被直观的描述时，学生这种‘马虎的’自然语言就可以被接受。”[5]但数学本身就是抽象的，自然语言不足以支撑学生在数学上的发展，因此数学教学要有意识地培养学生的数学语言。
2.3 思维的随意性
小学生的认知有随意性、经验性、简单化、具体化等特点，他们对步骤间的逻辑关系缺乏思考，习惯性依靠经验简单化、随意化处理。推理思想是数学基本思想之一，数学是通过推理才得以发展的。但推理对小学生来说具有一定的难度，演绎推理更是如此。小学生在根据学习内容进行推理时，容易出现推理过程不严谨的问题。
2.4 小学生认知的片面性
小学生存在数学认知片面、生活经验是不足，知识面狭窄等问题。他们的数学意识、数学眼光还有所欠缺，不能很好地体会数学在生活中的价值。数学的应用广泛性和小学生认识片面之间还存在着一定的差距。特别是一些生活情境不明显的数学问题，如情境中没有明显的“已知……条件”和“求……结果”。从生活情境中发现并提出数学问题，对学生而言具有一定的难度。例如，如何运用数学知识，合理安排超市自助收款机和人工收款柜台的数量和服务时间段以优化顾客排队结账等待的时间，提高顾客的购物体验。教师要引导学生将其视为数学问题，然后通过学习、调查、分析，应用数学知识解决这一问题。
基于上述分析，需要全面了解学生已有知识基础、科学开展教学设计、采用恰当教学方法方式，才能有效解决数学知识与学生认知水平的矛盾，帮助学生建立新的认知结构。部分教师在教学过程中创建情境、互动、游戏等，试图从学生已有的生活经验、熟悉的现实情境和感兴趣的话题出发，最大程度适应学生的认知发展。但多数创设的情境和重点内容关联性不大、不符合实际；
互动停留在形式，没有达到师与生、生与生之间良好的互动氛围；
设计的游戏有时让学生不明所以，难以提起学生兴趣，无法达到预期目标。同时，由于课堂时间有限，如果教师花费过多时间在兴趣活动上，还会压缩重点内容的教学时间。还有部分教师过度追求数学的抽象性、逻辑严谨性，忽视了学生学习能力的实际情况，就会导致学生难以理解课堂教学内容，教学效果差强人意。为解决上述问题，研究提出6点建议以实现由矛盾向统一的转化。
3.1 经历“具体—表象—抽象”的数学化过程
在教学过程中，教师要充分尊重学生“动作—表象—符号”的认知序列，让学生经历“具体—表象—抽象”的数学化过程，体验从实际情境中抽象出数学问题、分析问题、建立模型、解决问题、应用推广的研究过程；
要促进学生在“做数学”的过程中感受数学的价值，发展自己的数学思维。例如，让学生经历由3条鱼、3匹马、3头牛等到3个点，再到“3”的过程，通过“具体—半抽象—抽象”的过程，感受“数量”的特殊性和“数”的一般性，从而认识到数的意义数。在这个数学化的过程中，教师要舍得花时间，让学生掌握抽象化的方法，感受数学的思想方法。虽然数学内容越来越丰富，但抽象的方法是具有普适性的，对抽象方法的正确理解和灵活迁移能够帮助学生提高学习效率，减轻学习负担。
3.2 突破数学知识的结构，调整数学学习顺序
数学是一门逻辑性较强的学科。例如，按照欧式几何体系的逻辑顺序是“一维—二维—三维”，但小学生在日常生活中积累的大多是三维表象；
与三维图形(体)相比，一维图形(点、线)和二维图形(面)对小学生而言反而更具抽象性。因此，在教学过程中，教师应遵循学生的认知规律，按照“三维—二维—一维”的顺序进行教学。再如，数的扩充顺序为自然数—分数—小数，但学生在日常生活中积累了大量关于小数的经验，且小数和整数四则运算的本质也一致，所以很多版本的小学数学教材是按照“小数—分数”的顺序或小数、分数穿插进行来编排，以更好地适应学生的认知。
教师教学过程中《课标》是依据、教材是参考、学生是根本。教师应在充分了解学生、理解教材、领悟《课标》的基础上，创造性地使用教材，成为课程的开发者和建设者。小学数学教师在课程设计与教学中应适当突破数学自身的知识结构，调整学生学习顺序，以更好地适应学生认知，帮助其有效学习。
3.3 加强对比，启发想象
一维图形线段、射线和直线是很抽象的数学概念。教材按照“线段—射线—直线”的顺序进行编排的原因是，相对于线段，射线和直线的教学难度会大一些。学生对“无限长”缺乏形象支撑，更是经验化地把“直的线”等同于直线。在教学时发现，低年级学生会把角的两条边称作“直线”。教师在教学中可以先不进行过多纠正，随着学习的深入，学生已有的经验就会和新知(射线、直线)产生冲突。而在关于射线、直线的教学过程中，抽象的“无限长”仍难以直观呈现。教师可以采用加强对比、启发想象的对策来突破，在尽可能提供形象支撑(如使用激光笔光线表达射线)的前提下，通过语言启发学生想象射线的无限延伸，再类比到直线的相关定义。另外，在概括总结部分，可以让学生对线段、射线和直线的特点进行对比，以加深其对重难点的理解和感悟。
数学上的点和线是理想化的，不具备物质和能量特征。教师可以通过“画一画”“量一量”等活动让学生感受数学中点、线的关系和形式，启发学生想象这种理想化的状态，让学生领悟到“两点确定一条直线”“一点可以引出无数条射线”等公理。
3.4 有意识渗透符号意识
在课程教学初期，教师可以不必严格要求学生用数学语言来进行准确表达，只要求其能用自然语言表达其意、充分理解符号含义即可。但要有意识地引导学生经历数学符号“再创造”的过程，帮助学生理解数学符号的意义，学会运用数学符号表示对象、进行运算和推理并得到一般性的结论，进而感受数学符号的优越性。由教师主动地渗透符号意识，再到学生自发地用数学语言进行准确表达，进而真正实现对学生代数思维的培养。
3.5 在过程中加强推理的严谨性
虽然小学生的推理能力有限，但培养学生推理思想及推理严谨性对发展学生的数学素养具有重要意义。小学数学课程与教学剔除了一些较难的演绎证明，但在教学过程中仍要注重对学生推理能力的培养[6]。例如，在讲授“加法交换律”相关内容时，除了引导学生由“3+4=4+3、5+6=6+5、8+7=7+8”得到“a+b=b+a”，还应引导学生尝试找到一个反例对得出的推论进行证伪；
只有当学生无法找到反例时，才能说明刚才的推论是正确的。在培养学生推理能力的同时，锻炼其严谨的思维过程。
3.6 在解决问题的过程中感受数学的价值
教师应该帮助学生积累丰富、全面的数学活动经验。数学教学不仅仅局限在课堂，还应走进校园、走进社区、走进自然、走进社会，引导学生使用数学思维解决现实问题，培养学生的数学视野，让其体验数学的应用魅力[7]。只有这样，才能培养学生的问题意识，在解决问题的过程中丰富其体验、扩充其视野，进而提高学生的数学素养。
教师在进行小学数学教学设计时，应正视数学知识与学生认知的矛盾，认识到数学知识的抽象性、数学表征的符号化、逻辑推理的严谨性和数学应用的广泛性等特点，尊重学生思维形象化、用自然语言表达数学、思维的随意性和认知片面性的特点，并妥善处理其关系，才能使矛盾转向统一，保证教学质量。虽然在小学数学教学中还交织着其他矛盾关系，如教师和学生的矛盾，它们都是影响教学质量重要因素，但解决数学知识与学生认知特点的矛盾是小学数学教学设计的基点。
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