联合纯四元数与字典学习的彩色图像去噪方法
时间：2023-04-08 18:25:04 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
曾拥华, 马均瑶, 黄朝燕, 冒智慧, 武婷婷
(1. 陆军工程大学野战工程学院, 江苏 南京 210007; 2. 南京邮电大学通信与信息工程学院,江苏 南京 210023; 3. 南京邮电大学理学院, 江苏 南京 210023)
图像在数字化和传输过程中容易受到成像设备和外部环境噪声干扰的影响,导致图像在采集和传输的过程中产生退化。噪声干扰造成图像退化不可避免,但在实际的生活中,人们期望获取具有高分辨率的逼真原图像,产生了图像去噪问题。图像去噪是图像处理的基本任务之一[1],在诸多领域都有着广泛的应用,如大多数智能手机照相功能都运用了一些去噪算法[2]。
经典的加性零均值高斯白噪声干扰彩色图像的问题可以描述为一个干净的图像受到加性零均值高斯白噪声的干扰。图像去噪的任务主要是设计一个有效的算法以便于移除噪声图像中的高斯白噪声，得到与干净图像尽可能相似的图像。
图像去噪是一个经典的反问题，研究者基于稀疏代表元先后采用稀疏自适应滤波器[3-5]、偏微分方程法[6-8]、统计估计法[9-11]等方法对图像去噪问题进行了研究，证明了疏代表元(也称字典学习)理论对于图像去噪稀的可行性。传统的稀疏图像模型[12]对图像RGB通道用3个实向量分别表示或将3个实向量进行结合表示。文献[13]构建了一些应用于灰度图像的稀疏模型并取得了相当不错的成果。文献[10]将所有图像用随机字典的一些元素线性表示，建立了稀疏模型。文献[14]用四元数矩阵对彩色图像进行了表示，建立了相应的四元数模型。
传统的图像去噪方法,将彩色图像视为矢量或单色图像的组合,并完全忽略固有的颜色结构,使得复原图像中含有一定的彩色偏移点,降低复原图像质量。在本文提出的用四元数矩阵仿真彩色图像模型中,彩色图像中每个像素都能编码成单一的四元数单元,而不是将RGB通道单独编码。在四元数的特殊计算规则下,该方法相比于传统去噪方法能很好地保存彩色图像RGB通道之间的内部联系。此外,字典学习模型可以更有效地逼近噪声图像,通过对图像进行降维,在保留图像中主要信息的同时降低噪声干扰。使用图像块更新字典的方法可以在最大程度上除去图像中含有的高斯白噪声。鉴于两者的优势,本文联合四元数和字典学习模型对彩色图像去噪问题展开研究。
1.1 四元数矩阵
四元数[15]一般表示为如下形式:
(1)
式中:a0,a1,a2,a3都是实数;i,j,k是基本四元数单元。i,j,k满足四元数法则:
i2=j2=k2=ijk=-1
(2)
然而四元数不满足交换律,因为在四元数中ij=k, 而ji=-k。
(3)
则
(4)
(5)
(6)
四元数向量和矩阵的范数定义如下。
四元数矩阵奇异值分解(quaternion matrix singular value decomposition, QSVD)由文献[16]首次提出,定义如下。
1.2 字典学习法
图像去噪有许多方法,其中是基于字典学习和稀疏编码的方法较为流行[17-18]。许多图像都有如下性质[19]:图像Y∈Rm×n在字典D∈Rm×k上是稀疏的,并且可以找到稀疏系数矩阵A∈Rk×n使得Y=DA(或者Y≈DA)。假设在字典D能稀疏表示Y,当D复原后,就能通过解决如下式子来复原图像:
(7)
式中：ε≥0是一个有关于噪声水平的参数。运用式(7)解出稀疏系数矩阵A后,可由DA复原图像。常用的字典主要有完备小波[20]、离散余弦变换[21]等。然而,上述字典均为固定字典,不能准确表示彩色图像,可学习的字典可以更好地表示彩色图像,更有利于提高图像复原质量[22]。常见的学习字典主要有K均值聚类奇异值分解(K-means clustering singular value decomposition, K-SVD)[23],最优方向法(method of optimal direction, MOD)[24]和在线字典学习法(online dictionary learning method, OLM)[25]。综合考虑模型的简单性和修复图像的质量,K-SVD算法是非常有效的[26]。K-SVD算法可由如下模型表示:
(8)
通过对得出的结果与原始样本之间的差进行最小化处理,从而尽可能的还原出原始样本。可由QOMP(quaternion orthogonal matching pursuit)[27]和Lasso[28](least absolute shrinkage and selection operation) 算法解决这一问题。字典学习的研究对应的典型算法主要有3个方面[29]: ① 概率学习方法;② 基于矢量化或聚类的学习方法;③ 特殊结构的字典学习。这种结构通常由数据结构的先验驱动,或者由训练的字典目标驱动。通过字典和相应的稀疏编码可有效修复彩色噪声图像。
2.1 基于字典学习的零约束模型
(9)
(10)
2.2 基于零约束模型的QOMP算法求解
字典学习法:
(11)
(12)
将式(12)分为两个子问题进行求解得出
(13)
结合式(11)～式(13),算法具体步骤如下。
重复步骤1～步骤3直到达到指定的迭代步数或者收敛到指定的误差。
为验证本文利用基于纯四元数字典学习的彩色图像去噪模型的有效性,使用数据集Kodak提供的图像进行数值实验,并将本文提出的模型纯四元数稀疏代表元(pure quaternion with sparse representation, pQS)与K-SVD[23]和K-QSVD[14]两种现有的模型进行比较。
首先对图1所展示出来的10张彩色图像进行处理,每张图的左下角为图像编号。图像1～图像8是512×768的彩色图像,图像9和图像10是768×512的彩色图像。实验中使用的图像如图1所示。
本文采用的噪声方式是高斯加性白噪声。使用本文提出的模型对加噪声后产生的噪声图像去噪。为了说明本文提出的模型的有效性,将本文实验与文献[23]和文献[14]实验进行对比,结果如图2所示。
图2 原始图像3及其在3种模型下去噪的局部放大图对比(σ=25)Fig.2 Comparison of the original image 3 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=25)
图2(a)是清晰的图像,图2(b)是局部放大图像,图2(c)是加高斯噪声后的图像,其中σ=25,图2(d)是K-SVD模型修复的噪声图像,图2(e)是K-QSVD模型修复的噪声图像,图2(f)是本文提出的pQS模型修复图像的结果。结果表明:本文提出的模型相比于K-SVD模型和K-QSVD模型能更好地抑制噪声和保存图像结构信息。
在图3和图4中,图3(a)和图4(a)是清晰的图像,图3(b)和图4(b)是局部放大图像,图3(c)和图4(c)是加高斯噪声后的图像,其中σ=35,图3(d)和图4(d)是K-SVD模型修复的噪声图像,图3(e)和图4(e)是K-QSVD模型修复的噪声图像,图3(f)和图4(f)是本文提出的pQS模型修复图像的结果,通过对比局部放大部位。结果表明:本文得到的去噪图像具有更加清晰的图像纹理,一定程度上改善了去噪图像的细节。
图3 原始图像5及其在3种模型下去噪的局部放大图对比(σ=35)Fig.3 Comparison of the original image 5 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=35)
图4 原始图像10及其在3种模型下去噪的局部放大图对比(σ=35)Fig.4 Comparison of the original image 10 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=35)
图5(a)是清晰的图像,图5(b)是局部放大图像,图5(c)是加高斯噪声后的图像,其中σ=50,图5(d)是K-SVD模型修复的噪声图像,图5(e)是K-QSVD模型修复的噪声图像,图5(f)是本文提出的pQS模型修复图像的结果。结果表明:本文提出的模型相比于K-SVD模型和K-QSVD模型不仅能够更好地抑制噪声,而且能更好地体现图像细节。
图5 原始图像6及其在3种模型下去噪的局部放大图对比(σ=50)Fig.5 Comparison of the original image 6 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=50)
为了客观的对去噪结果进行比较,本文选择以下量化评价指标对其进行评价[30]:结构相似度 (structural simila-rity index measure, SSIM)和峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR),定义如下:
由表1～表3可以看出,在噪声水平分别为σ=25、σ=35、σ=50的情况下,利用本文模型的去噪图像的PSNR比K-SVD模型和K-QSVD模型修复的图像高,相对误差也有一定的优势,因此可以从数值的角度证明本文所提出的模型可以得到更好的复原图像。基于图2～图5以及表1～表3的分析,证明了本文提出的pQS模型能更好地拟合图像,同时有效提高了修复图像的质量。
表1 σ=25时不同模型的SSIM和PSNR值
表2 σ=35时不同模型的SSIM和PSNR值
续表2
表3 σ=50时不同模型的SSIM和PSNR值
本文用四元数矩阵表示彩色图像,即用四元数矩阵的3个虚部表示彩色图像的RGB 3个通道,可以更好地将彩色图像与提出的模型拟合。利用稀疏表示的字典学习法模型对模糊的图像进行逼近,使用图像块更新字典的方法,在最大程度上除去图像中含有的高斯白噪声。同时,本文利用K-QSVD算法高效快速地解出所提出模型的解。数值实验表明了本文模型及算法的有效性,本文所提出的模型不仅有效地解决了含噪声彩色图像的去噪问题,还很好地拟合了彩色图像,提高了复原图像的质量。
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