从一题出发，优化例题的有效性教学策略
时间：2023-03-01 15:25:07 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
◎孙 洁
(南京六合励志学校，江苏 南京 211500)
案例1
1.情境创设，激发学生的复习兴趣
区别于一般的复习课，本节课没有设置几个例题来复习章节知识点.课前准备好两张全等的三角形纸片，依托这个道具，展开复习.
教师：今天，老师和同学们一起带着手中的这两张三角形纸片去旅行，玩转全等三角形.看到这两张全等的三角形纸片，你能想到哪些与全等三角形相关的知识？
学生1：已知这两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角也相等.(性质)
学生2：全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.(判定)
学生3：若这两个三角形能够完全重合，那么这两个三角形叫做全等三角形.(全等的定义)
教学说明：一般的复习课，可以以知识框架图进行展开，也可以用一份试卷进行知识点呈现.基于学生的整体素质较高，采用了两张纸片展开本节复习课，区别于一般复习课的情境创设，留给了不同层次的学生更多的思考空间和活动空间，从不同层次上激发了学生的探知欲望，让不同的学生有不同的发展.伴随着新课程标准的修订和核心素养的提出，让老师更多地认识到学生的数学素养和个体的素质一样，会影响到其一生的发展.那么什么是数学素养呢？它又是怎样形成的呢？张奠宙教授在一文中写道：数学核心素养包括“真、善、美”三个维度：(1)理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；
(2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；
(3)能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学.通俗地讲，是指人们在生活中遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备一定数学素养的人可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法发现问题、提出问题、解决问题.在数学复习课的课堂上，如何设置有效的例题，激发学生对数学的思考和热爱，培养学生的数学素养呢？这就要求教师在平时的教学过程中，利用有限的课堂时间，优化例题，优化课堂的有效性教学，培养学生一定的数学素养，从而形成自主的知识构建能力并打造高效课堂.
2.动手操作，培养学生提出问题的能力
教师：请把这两个直角三角形纸片组合成新的图形，并结合图形，提出问题，并解决.
教学说明：英国剧作家威廉莎士比亚的一句名言：一千名读者就有一千个哈姆雷特.这正是由于不同的人受的教育和知识文化程度不同，对外界事物的感知能力也不同，对事物的看法肯定也是大相径庭的，所以每个人读相同的一本书都有不同的想法.在数学课堂上，相同的纸片，不同层次的学生也有不同的组合方式、不一样的问题.设计组合新图形的探究活动是本节课的重点，借助“组合成新图形”，通过已知条件，让学生自己提出问题并证明.
3.进一步探究，培养学生欣赏数学的严谨性，深层美
学生4：如图1，已知△ABC和△DEF为直角三角形，且△ABC≌△DFE，求证：△ABF是等腰三角形.
图1
学生4简述证明过程，并在证明过程中，其他学生提出质疑：点A，B，F能否构成三角形要事先证明，即B，C，F三点是否共线.
学生5：如图2，已知△ABC和△DEF为直角三角形，且△ABC≌△FDE，B，C，E三点共线，求证：AB⊥BD.
图2
教师：由这幅图，你还有哪些想法？
学生6：一线三等角,用这幅图证明毕达哥拉斯定理……
学生7：如图3，已知△ABC和△DEF为直角三角形，且△ABC≌△DEF，按如图方式摆放，求证：△CEO≌△FBO.(写出具体的证明过程)
图3
教师：由这幅图，你还能提出哪些问题？
学生8：连接AO，图中有哪些全等的三角形？AO有哪些特别的意义？
教师：你有哪些方法证明AO是垂直平分线？角平分线？中线？
(学生上台展示不同的证明方法，综合运用全等的性质和判定方法，得到AO的特别的意义)
教师：黑板上还有一些图形我们没有研究，你能把它们进行分类吗？分类的依据又是什么？
学生9：按照组合图形的形状分成三角形、四边形以及其他图形.
学生10：还可以按照图形的变换方式，比如：可以经过平移、旋转、翻折三种变换组合成新的图形.
教学说明：美国的著名认知教育心理学家布鲁纳的认知——结构论指出，认知学习强调学生的主动探索，从事物和现象的变化中去发现原理，这是构成学生学习的重要条件.布鲁纳认为，学生学习的主要方式是在一定的学习情境中，通过自己的探索从而获得问题的答案和形成观念的一种学习：即发现学习，发现学习并不只限于那种寻找人类尚未知晓的事物行为，还包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式.所以这种学习有利于培养学生独立思考和发展学生探索新情况的态度.
为了帮助学生充分利用自己组合成的新图形，笔者以三个图形为例，巧妙引出了在利用全等的性质和判定时，容易出现瑕疵的地方，和一题多解的方法.通过这样的分析，不仅培养了学生数学推理过程的严谨性和思维的深层次性，更能鼓励他们自己提出问题并解决问题，学会有条理地思考和表达，有意识地反思和探索，获得提出问题、解决问题、反思问题的一般经验方法.
4.运用反向思考，培养学生逻辑推理的数学素养
课后思考：这两张三角形纸片，满足什么条件可以得到图2中的结论？
案例2
1.情境创设，关注学生已有知识
已知：如图4，AE∥BC，∠1=∠2.求证：∠B=∠C.
图4
教学说明：本题是在学习了探索直线平行的条件和平行线的性质以及定义与命题的相关知识后，遇到的初步几何证明题.题目本身难度不大，大部分学生都能规范作答.
2.从基本图形出发，层层深入变换
教学片段 1
教师：你是怎么想的？你为什么这么想？
(带着教师的提问，学生开始独立自主完成思考并解答)
学生1：要证明角相等，可以先考虑利用两直线平行，内错角相等或同位角相等.但是要证明的 ∠B和∠C既不是内错角也不是同位角，所以不能选择平行线的性质定理.但是可以借助平行线的性质定理以及∠1=∠2，得到∠B=∠C.
教学说明：刚开始学习几何证明题，本题图形比较简单，所以很多学生都能有以上的思路并规范作答.通过设计基础知识，从最基本的图形出发，有效调动学生回顾复习本节课相关知识.理清平行的条件与性质，并在解决问题过程中体会基本图形.
教学片段 2
教师：本题可以把已知条件和结论综合成三句话，即：AE∥BC，∠1=∠2，∠B=∠C.能否由这三句话和原来的图形改编题目呢？
学生2：把AE∥BC，∠B=∠C作为条件，可以得到结论∠1=∠2.
学生3：还可以把∠1=∠2，∠B=∠C作为条件，可以得到结论AE∥BC.
教师：同学们提出来的改编的新题目都可以证明，思维非常活跃，互换条件和结论，可以得到新的问题.
教学说明：英国剧作家威廉莎士比亚的一句名言：一千名读者就有一千个哈姆雷特.这正是学生认知水平的差异性，对外界事物的感知能力不同，对事物的看法肯定也不同，所以每个人读相同的一本书都有不同的想法.在数学课堂上，相同的图形，不一样的条件，不同层次的学生也有不同的组合方式、并提出不一样的问题.设计组合新问题的探究活动，是学生进一步内化基本图形的过程，借助“组合成新图形”，通过已知条件，让学生自己提出问题并证明.
教学片段 3
教师：结合本题的图形、条件和结论，通过小组合作探究，你还能如何改编题目？
(先给学生5分钟独立思考的时间，再让4个学生小组合作探究，并把小组讨论的结果展示，共同探讨)
学生4：我们小组是这样想的：如图5，可以把原来条件中∠B与∠C数量相等，变成两个角的数量之和为特殊的90°，那么结论相应的是不是也会有线与线之间的位置关系——垂直？已知：如图5，∠B+∠C=90°，AE∥BC，求证：AC⊥BD.
图5
学生5：由题目中∠1=∠2可以得到AE是∠DAC的平分线，所以在此基础上我们添加了AG和BF分别平分∠DAE和∠ABC.已知：如图6，AE∥BC，AG和BF分别平分∠DAE和∠ABC，求证：AG∥BF.
图6
学生5的话音刚落，就有另外两组提出：和他们小组探讨的思路如出一辙，只不过把角平分线的位置换了而已.已知：如图7，AE∥BC，∠1=∠2，AG平分∠2，CF平分∠ACB，求证：AG∥CF.
图7
学生6：我们组正好是结合前面几组的一些想法，把它们结合在一起，既有新的角平分线，又有两条线之间的位置关系，最后得到结论还是角相等.已知：如图8，AE∥BC，∠1=∠2，AE⊥AF，∠B=∠C，求证：∠3=∠4.
学生7：和前面这组的部分条件和结论相反.已知：还是如图8，AE∥BC，AE和BC被BD所截，连接AC.AF平分∠BAC，AE平分∠DAC.求证：AE⊥AF.
图8
教师：请把每组提出的新的图形画出来并进行证明.
教学说明：为了帮助学生充分利用自己组合成的新图形，笔者以三个图形为例，巧妙引出了在利用全等的性质和判定时，题型是多变的.通过这样的分析，不仅培养了学生数学推理过程的严谨性和思维的深层次性，更能鼓励他们自己提出问题并解决问题，学会有条理地思考和表达，有意识地反思和探索，获得提出问题、解决问题、反思问题的一般经验方法.
卜以楼老师在《生长数学》一书中指出，教师不仅要“教教材”，而且还提倡根据学情、教情开发教材，创造性使用教材.那么如何在课堂上优化例题的有效教学，达到“例题在生长、数学在生长、学生在生长”，可以从这样的几个方面去尝试.
1.同一个例题，不同的个体，给予不同的发展空间，尊重每一个个体
班级48名孩子，就像48名读者一样，不同的性格、思维方式，作为教师要正视学生个体的差异，顺应学生的正向发展，面向全体学生，用同一个例题，使每个学生都积极主动地投入到课堂学习中去.“48名学生都带着两张纸片去旅行”，用同一个基本图形，使每个学生都积极主动地投入到课堂学习中去，既能让学习基础薄弱的孩子接受和消化，还能使优秀孩子吃得饱，并能不断全面超前发展.本节课留足学生自由发展的空间，让学生充分思考，给学生一片自由的天地，面对不同层次学生，给予不同的发展空间，尊重每一个个体.
2.同一个例题，挖掘问题的深度和有效性，让思维得到更大的提升
数学课堂的灵魂是问题，通过问题的设计，学生的思维才有方向；
问题是思维的源泉，是激发学生兴趣、引起学生的好奇心和求知欲望的载体.苏霍姆林斯基曾经指出，如果一个孩子提出的问题越多，那么孩子在童年早期认识周围的东西也就愈多，在学校中越聪明，眼睛愈明，记忆力愈敏锐.要培养孩子的智力，那你就得教给他思考.教师的“问”“怎么问”不仅可以解决教学中某一个具体知识点的问题，而且能使学生逐步学会发现问题和思考问题的方法，促进师生间、生生间的情感交流.通过“如何问”“问什么”让有效性得到落实.从教师的角度和学生的角度，如何优化例题问题串，把问题还给学生，让例题在学生手中发挥最大作用.
3.开展操作性的例题数学活动，提升学生的经验，实现学科价值
数学核心素养包含数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面.数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施.《生长数学：卜以楼初中数学教学主张》一书中提出：学科的根本价值在于让学生学会思维、形成习惯、积累素养.也就是将学习中的思维过程、方法策略内化为学生走向社会解决具体问题的基本技能、基本思想、基本态度、基本经验和基本素质.课堂上满堂灌的方式已经被淘汰，取而代之的是新鲜的学生个体为主体的课堂，本节课的例题——“我给你两张纸片，你还我数学知识”，这也许就是操作活动带给学生的无限空间，在操作中感知数学知识，在操作中建构基本模型，在操作中提升解题能力，在操作中总结经验.
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