基于能量平衡原理的机床柔度优化方法
时间：2023-01-18 11:25:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
孙士玉，李郝林，王家乐，汪能洋
(上海理工大学机械工程学院，上海 200093)
机床在切削或磨削的过程中出现的不稳定现象往往是由机床在切削过程中的动态特性和机床-刀具-工件系统的模态特性之间的相互作用产生的[1]，会影响加工质量并限制生产效率。其中，由切削厚度变化而引起的再生颤振是最常见的并且危害性最大的。为了解决机床的再生颤振问题，国内外学者做了多方面的研究。MEI[2]从波的角度设计一种主动控制器，在一定的频率范围内吸收颤振的能量，从而减少颤振的产生。HAYASAKA等[3]建立了螺旋立铣刀与机床发生再生颤振的关系，改变刀具的螺旋角度以消除颤振的产生。MUNOA等[4]通过旋转弹簧和涡轮模块来控制工作台的夹紧方式，以提高机床的动态刚度和铣削稳定性，来提高机床抵抗再生颤振的能力。WANG[5]利用非线性调谐质量阻尼的吸振原理抑制颤振的产生。张勇[6]采用超磁致伸缩制动器及PID控制算法抑制机床的颤振。乌利齐·拉通德[7]通过调整附加质量块的质量来改变刀具头的振动特性，从而抵消机床的再生颤振。这些措施都是在机床设计完成后所采取的措施，虽然对机床颤振有一定的抑制作用，但不能从根本上解决机床问题。为此，本文作者从机床设计的角度出发，调整机床质量、刚度的分布，以提高机床自身抵抗再生颤振的能力。
目前通过降低机床系统动柔度并使各阶模态柔度分布更加均匀的优化方法相对较少。将能量平衡原理、正交试验方法和响应面法结合，实现一种提高机床抵抗再生颤振能力的方法。通过模态柔度和能量平衡原理寻找出机床的薄弱模态和薄弱子结构，即需要调整的质量和刚度；
结合正交试验方法和响应面方法对机床的刚度、质量进行优化；
得到最优的刚度配置方案和质量配置方案，以提高机床抵抗再生颤振的能力。以某机床厂曲轴磨床为例，说明该方法的具体过程。
评判机床在切削颤振作用下抵抗再生颤振的能力，通常很难通过直接计算而获得，往往通过某个参数来间接性地进行评价。目前，公认的是采用稳定性极限切削宽度bm判断机床是否产生再生颤振[8]，bm越大说明机床抵抗再生颤振的能力越强，而它与机床动柔度的最大负实部成反比例关系。因此，为提高机床抵抗再生颤振的能力，应使其动柔度的最大负实部绝对值减小。
机床动柔度的最大负实部是一个综合性指标，它是由机床的模态柔度和模态阻尼比所决定，而目前对机床阻尼的计算尚未成熟，文中将机床视为在无阻尼系统情况下运行，假设机床在点e处受到激振力Fe，在点c处响应时，系统的交叉动柔度为
(1)
(2)
显然，机床的各阶模态柔度对机床系统的动柔度有着决定性的影响，它们又是由机床各个子结构在各阶模态下能量的分配情况所决定的，而机床能量的分布主要取决于各个子结构质量和刚度的分配。由此，将提高机床抵抗自激振动能力问题转化成了优化机床结构刚度和质量的问题。
机床在正常运转的过程中，不是每一个模态都会出现颤振问题，而是具体到某一阶或某几阶模态。因此，首先需要找到机床易发生颤振现象的薄弱模态，再对薄弱模态进行优化，当系统的激振频率接近于0时，由公式(1)得机床的动柔度与各阶模态柔度的关系为
(3)
(4)
寻找到系统的薄弱模态后，需要找出该模态下薄弱环节，将机床系统分为N个子结构，机床第s子结构在第r阶模态下的最大惯性能和最大弹性能及分布率为
(5)
(6)
(7)
(8)
式中：Tsr、Vsr分别为第r阶模态下第s子结构具有的最大惯性能、弹性能；
ms为第s子结构的质量；
As(r)为第r阶模态下s子结构的振幅；
Ks为第s子结构的刚度；
γsr、μsr分别为第r阶模态下第s子结构的惯性能分布率和弹性能分布率。
根据求出的能量分布，能确定系统的薄弱环节。当γsr过大时，说明该子结构为惯性能量分布率较高的子结构，质量过于集中，应该减少其质量；
当μsr过大时，说明它为弹性势能分布率较高的子结构，其刚度不足，应着重提高其刚度。研究发现：当提高薄弱环节的刚度时，可以有效降低其模态柔度，并且降低机床系统的静柔度；
当降低薄弱环节的质量时，可以降低该模态的模态柔度，但是不会改变机床系统的静柔度。因此，寻找出系统的薄弱模态后，首先调整该模态下弹性能分布率高的子结构的刚度，降低该模态的模态柔度和机床的静柔度；
然后，可以调整惯性能分布率高的子结构的质量，在规定的边界条件下，降低薄弱模态的模态柔度并使得各阶模态柔度分布更加均匀。
2.1 刚度优化
统计表明，机床60%的振动问题都来源于其结合部[9]，因此，有必要对其薄弱结合部的刚度进行优化。通过式(4)和(8)可得到系统的各阶薄弱模态下的薄弱环节，又通过式(1)可知机床动柔度与静柔度有关。因此，以各阶薄弱模态下的弹性能分布率高的子结构的刚度为变量，以减小静柔度为目标，对结合面刚度进行优化，其优化设计的模型为
(9)
k=(k1k2…kr…kn)i=1,…,n
s.t.kr∈{kr1…krs…krn}
(10)
fmin=min(fs1…fsi…fsn)
(11)
式中：fs为静柔度的值；
kr为机床子结构刚度值；
fmin为静柔度最小值。为在规定的范围内寻找出最优的刚度配置方案并减少试验次数，采取正交试验方法。
正交试验法是一种处理多因素的试验方法[10]，它使用较少的试验单元筛选若干因子，筛选完成后，在进行试验的过程中，可以进一步分析各个因子之间的交互作用，最后通过分析各种数学理论模型进行优化试验设计。
在确定设计变量因素后，结合面的刚度不能随意调整，因此需要计算出满足实际情况的几组刚度，即每个薄弱环节刚度的取值情况，以确定正交试验的水平kr∈{kr1,…,krs,…,krn}，由此建立正交试验表，并依据此表重新调整机床模型进行试验，以计算出每组试验的静柔度，并采用极差分析法对试验的结果进行分析。
2.2 质量优化
研究发现，对机床动态性能的优化除了需要减小静柔度外，同时应使得各阶模态柔度的分布更加均匀，质量的增加或减少并不会对静柔度产生影响，却可以改变各阶模态柔度的分布情况，降低薄弱模态下惯性能分布率高的子结构的质量以减小该模态的模态柔度，从而达到优化的目的。因此，求出优化刚度后各阶模态柔度、模态柔度分布率和各个子结构惯性能分布率，得出机床系统的薄弱模态。在此基础上得出薄弱子结构，即惯性能分布率高的子结构，作为质量优化的变量，以各阶模态柔度分布更加均匀为目标，其优化模型为
(12)
m=[m1…mr…mn]
(13)
σf=min(σf1…σfs…σfn)
(14)
s.t.mmin≤mr≤mmaxr=1,2,…,n
式中：σfr为机床各阶模态柔度的方差；
mr为要调整的子结构的质量。为在规定的边界条件下寻找出最优的质量配置方案并减少试验次数，采取响应面优化设计方法。
响应面法是数学方法与统计方法相结合的产物[11]，能够处理多变量问题，本文作者利用Design-Export软件对机床的质量进行优化设计。通过软件建立试验设计表，运用MATLAB软件对表内的参数进行计算，然后利用Design-Export软件对数据分析拟合，建立各薄弱子结构的响应模型，以各阶模态柔度分布更加均匀为目标。通过此软件进行响应面分析并建立拟合回归方程，利用Optimization模块设置边界条件，得到最优的质量组合。
3.1 刚度优化
为验证该方法的可行性，以某机床厂曲轴磨床为例[12]，对其进行优化设计。该磨床主要由头架、砂轮、砂轮架、尾架、工作台、工件等组成，考虑到水平方向分量是影响加工精度的最主要因素，故物理坐标都选择在水平方向上。因此，将机床简化成具有7个自由度的系统。通过MATLAB软件对机床的固有频率、振型、模态柔度进行计算，结果如表1所示。可知：除第4阶固有频率外，其余各阶固有频率计算值与实测值误差范围都很小。由结果可得，模态4的模态柔度占比为59.44%，模态5的模态柔度占比为21.97%，模态1的模态柔度占比为11.04%，模态2的模态柔度占比为5.68%。因此，此4阶模态为机床系统相对薄弱的模态，可作为优化的目标模态。
表1 优化前的固有频率和模态柔度
计算机床各阶模态下各个子结构的弹性能及弹性能分布率，结果如表2所示。可以看出：在弹性能方面，导致模态4、模态5、模态1和模态2模态柔度值大的原因分别为工件右夹持部刚度过小、主轴前支撑刚度过小、砂轮进给机构刚度过小和工作台左-床身的刚度过小。因此，以这4个结合面刚度为变量，对机床进行优化。
表2 机床各个子结构的弹性能分布率
根据结合面的选择要求，分别计算出4个结合面刚度的3个水平值，组成的正交试验的因素水平如表3所示。其中，工件右夹持部刚度、主轴前支撑刚度、砂轮进给机构刚度和工作台左-床身的刚度分别用A、B、C、D表示。
表3 正交试验的因素水平 单位：107 kg·m-1
因此，本文作者选取L9(34)正交表安排试验，选取工件右夹持部刚度、主轴前支撑刚度、砂轮进给机构刚度和工作台左-床身的刚度作为影响因素，以减小机床系统静柔度为目标，设计正交试验方案，方案及试验结果如表4所示。
表4 正交试验的设计方案及试验结果
通过正交试验和极差分析可得，工作台左-床身的刚度是影响静柔度最重要的因素，其次分别为工件右夹持部刚度、主轴前支撑刚度、砂轮进给机构刚度。根据极差分析选择出的最优的结合面刚度组合为A3B3C3D3。将求出的最优方案代入机床动力学模型中，优化前后的结果对比如表5所示。可知：各阶薄弱模态的模态柔度均有所下降，其中，1阶、2阶、4阶和5阶的模态柔度分别下降了39.77%、8.50%、14.38%和63.01%，其余模态的模态柔度都有不同程度的降低。因此，运用能量平衡原理对机床的刚度进行优化，可以有效地降低薄弱模态的模态柔度和机床系统的静柔度，从而降低系统的动柔度，提高机床抵抗再生颤振的能力。
表5 优化刚度后的模态柔度及变化率
3.2 质量优化
优化刚度后，各阶模态的模态柔度比分别为9.27%、7.24%、1.12%、70.91%、11.32%、0.01%、0.13%，模态1、2、4、5为相对薄弱的模态。惯性能分布率如表6所示。可知：影响模态4模态柔度最重要的因素为工件质量，而这是由待加工对象决定的，不属于机床系统本身。因此，无法通过调整工件的质量使它变小，可通过增大此模态下的模态阻尼比，有效降低其产生自激颤振的概率。
表6 惯性能分布率 单位：%
由表6可知：模态5、1、2为机床系统相对薄弱的模态，而影响模态5、1和2模态柔度的最主要因素分别为砂轮质量、砂轮架质量、工作台质量。对机床动态性能的优化除了减小静柔度外，同时应使得模态柔度的分布更均匀。因此，以砂轮架质量、砂轮质量和工作台质量为变量，在不增加第4阶模态模态柔度的前提下，以减小其他6阶模态柔度的方差为目标，寻找最优的质量组合。利用Design-Expert软件对砂轮质量、砂轮架质量、工作台质量进行三因素三水平响应面试验设计，各因素的试验水平如表7所示。
表7 因素的试验水平 单位:kg
根据变量因素编码表，通过MATLAB软件计算出每组试验所对应的第4阶模态柔度R4和其余6阶模态柔度的方差。表8所示为试验设计方案及结果，整个试验共计20组。
表8 试验设计方案及结果
对表8的试验数据进行回归分析，得出各阶模态柔度的方差与第4阶模态柔度的多元回归模型。根据回归模型分析的结果，运用Design-Export软件中Optimization功能，以不增大第4阶模态柔度和其余6阶模态柔度的方差最小为条件，求解回归模型，得到的最优参数为砂轮架质量1 124.48 kg、砂轮质量89.25 kg、工作台质量1 278.26 kg。将优化后结果代入机床系统，得到的结果如表9所示。由此可得，运用能量平衡原理，在规定的边界条件下，在不使得第4阶模态柔度增大的情况下，可以使得其余6阶模态柔度分配得更加均匀。
表9 优化质量后的方差和第4阶模态柔度
3.3 机床整体优化结果
对机床的刚度和质量优化完成后，将优化后的参数代入机床系统，利用MATLAB软件进行分析，结果如表10所示。可知：各薄弱模态的模态柔度均有所减小，机床的静柔度下降了28.23%，各阶模态柔度的方差也下降了14.95%，各阶模态柔度的分布更加均匀。
表10 优化后的各阶模态的模态柔度
如表11所示，机床的各阶固有频率均有不同程度的提高，其中第1、2、5阶固有频率分别提高了49.32%、43.27%、39.08%，优化效果非常显著。由此可知，运用能量平衡理论优化机床不仅可以使机床的静柔度降低，提高机床的抵抗自激颤振能力，还会提高机床的固有频率，从而提高机床机床抵抗受迫振动的能力。
表11 优化前后的固有频率
本文作者将能量平衡原理和正交试验与响应面方法结合，实现了一种提高机床抵抗再生颤振能力的方法。以某机床厂磨床为例，验证了此方法可以有效降低机床系统的动柔度，并提高机床的各阶固有频率，使机床的整体动态特性得到较大改善。
根据模态柔度和能量平衡原理，寻找出机床的薄弱模态和薄弱子结构，以薄弱子结构的刚度、质量为变量，以降低机床系统静柔度和各阶模态柔度分布更加均匀为目标对机床进行优化。
结合正交试验方法对机床的刚度进行优化，结合响应面方法对机床的质量进行优化，既可以减少试验次数、提高优化效率，又可以在规定的条件下，实现最优的刚度配置方案和质量配置方案。
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