无碳小车误差分析与优化方向
时间：2023-01-15 13:45:08 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
钟樟榕，万金贵，朱文华
（上海第二工业大学工程训练中心，上海 201209）
作为纯机械驱动的无碳小车，其零部件加工制造中必然存在误差，这对小车运行轨迹的精确性和稳定性造成直接影响。为此，一般做法都是尽量提高所有零件的加工精度，或是通过误差分析而针对性地设计合适的调整装置去补偿加工与装配误差[1-6]。前者往往受现实加工条件限制而难以达到，或者导致加工成本急剧增高，与无碳的初衷不符。后者常常因为调整工作量大、调整难度高、效果不理理想而影响实际小车比赛成绩。已有文献对无碳小车误差分析一般都集中于静态误差（即误差值在理论分析的过程中是恒定不变的）分析[5-8]，而忽略了无碳小车是一个动态系统，其加工制造过程中的误差不是一个常量，而是具有一定的随机分布特性，这会导致理论分析与实际情况有不可忽略的偏差。因此，在无碳小车轨迹的理论分析中引入随机误差，使无碳小车的理论分析更加切合实际，且为选择关键零部件提高加工精度提供参考。
不同误差对无碳小车运行轨迹的影响效果不同，因此，需对小车进行运动分析与数学建模，找出影响小车运行轨迹的主要误差。选择较有代表性的凸轮机构控制的无碳小车进行研究。先画出小车机构简图并标注各部分几何尺寸，如图1所示。
图1中的小车处于左转弯状态，以两驱动轮中心连线的中点A作为整车速度中心，可建立如下几何关系式：
式中：ρ—图1中直线OA的长度，即小车中心点A的转弯半径；
l—小车前后轴距，代表小车的长度；
φ—转向轮（即前轮）的偏转角。
图1 无碳小车机构简图Fig.1 Model of Carbon-Free Car
由此可见，当小车的结构参数确定后，l为定值，小车的转弯半径ρ随转向轮偏转角φ的变化而逐渐变化。
从图1分析，转向轮偏转角φ由凸轮推杆机构中的推杆位移s转化而来，其关系可表示为：
式中：s—前述推杆位移；
e—凸轮推杆运动平面与小车转向轮轴之间的距离，是小车的重要结构参数。因此，小车运动时，转向轮偏转角φ是关于推杆位移s的函数。而在凸轮机构中，推杆位移s是关于凸轮转角θ的函数，可表示为：
将式（3）代入式（2），可得转向轮偏转角φ关于凸轮转角θ的关系：
联立式（1）、式（4）可得出小车转弯半径计算式：
为分析方便，当转向轮（即前轮）偏转角为φ时，在平面直角坐标系中将三轮车模型简化成A点和B点所代表的二轮自行车模型[9]。由图1可知，A为两驱动轮连线的中心，B为转向轮轴心。在凸轮的一个微小转角dθ的作用下，小车由AB移动到A"B"，如图2所示。
图2 小车转弯微量角度时的状态Fig.2 The Schematic Diagram of Carbon-Free Car when Turning at a Slight Angle
图2中，A点移动的弧长为lAA"，则：
式中：i—齿轮传动比；
R—驱动轮半径。设主动齿轮齿数为Z1，从动齿轮齿数为Z2，则i=Z2/Z1，故：
图2中，以dβ表示A点的微小转角，则：
根据文献[9]，由弧微分方程（舍去高阶无穷小量）可得A"点相对A点的增量坐标为：
将式（5）和式（7）代入式（9），并求积分，可得驱动轮轴心点A运行轨迹的参数方程：
在软件中对上述参数方程进行求解并绘制小车的运动轨迹曲线。这里以偏心圆凸轮推杆为例，其推杆位移曲线，如图3所示。对应计算出的小车仿真轨迹，如图4所示。
图3 偏心圆凸轮机构的推杆位移曲线Fig.3 The Displacement Curve of Push Rod of Eccentric Circular Cam Mechanism
图4 凸轮机构控制的无碳小车仿真轨迹曲线Fig.4 The Simulation Trajectory Curve of Carbon-Free Car Controlled by Cam Mechanism
由小车机构简图、运动方程及其运行轨迹仿真分析可知，影响无碳小车轨迹的误差包括驱动机构误差和转向控制机构误差。
分析小车机构简图知驱动机构误差主要来源于驱动轮。驱动轮为盘盖类零件，随机误差主要为径向跳动误差和轴向跳动误差，如图5所示。
图5 驱动轮径向跳动误差和轴向跳动误差Fig.5 Radial and Axial Runout Errors of Driving Wheel
其中，径向跳动误差ΔR使得小车在每一个微小转角dθ作用下的实际车轮半径R"可表示为：
轴向跳动误差Δb使得小车在每一个微小转角dθ作用下的实际转弯半径ρ"可表示为：
转向控制机构误差之一为凸轮轮廓的矢径误差Δs，如图6所示。
图6 凸轮矢径误差Fig.6 Radial Vector Runout Errors of Cam
凸轮轮廓的矢径误差Δs实际影响推杆相对凸轮回转轴线的位移S，故实际的相对位移S"可表示为：
由实践经验及理论分析知，还有一个直接来自于转向控制机构的不可忽略的误差是其控制的转向轮角位移误差，这是由推杆末端的滚子（即导轮）与滑块导向槽（下文简称滑槽）之间的间隙造成的。如图7 所示，d—滚子直径，理想状态下（图中实线所示），滚子直径与滑槽宽度相等，由推杆通过其末端滚子带动滑块连同转向轮产生角位移φ；
实际情况中，滑槽可能比滚子宽而产生间隙，图中以Δu表示总间隙量，转向机构运动时，滚子总是一侧接触滑槽侧面，滚子中心与滑槽中心偏离，从而导致与滑块中心相连的转向轮角位移滞后，产生角位移误差Δφ。
图7 滚子与滑槽间隙带来的转向轮角位移误差Fig.7 Angular Displacement Error of Steering Wheel Caused by the Gap Between the Cam Slot Wall and Roller
由图7可近似计算Δφ：
需指出的是，当凸轮推杆为升程或回程时，此误差会使实际转角φ增大或减小，图7中只画出其中一种情况。因此角位移误差使实际转向轮角位移φ"可表示为：
综合式（3）、式（5）、式（12）和式（13），可得出考虑了驱动机构误差的小车实际转弯半径ρ"：
综合式（6）、式（11），可得出考虑了驱动机构误差的小车实际转弯所走过的弧长
综合式（3）、式（4）、式（13）、式（14）和式（15）可得小车转向轮的实际转角可表示为：
由前文推导的小车轨迹参数式（10）及式（9）分析，小车运行轨迹是由小车瞬时走过的弧长lAA"及小车瞬时的转弯半径ρ并随时间积分而共同决定，因此凡是影响到lAA"与ρ的那些因素都会影响到小车运行轨迹。从式（16）中看到，凸轮轮廓的矢径误差Δs和驱动轮的轴向跳动误差Δb直接影响了转弯半径ρ；
从式（17）中看到，驱动轮的径向跳动误差ΔR直接影响了小车瞬时走过的弧长lAA"；
从式（18）中看，前轮偏转角位移φ除了受Δs影响之外，还受推杆末端滚轮与滑槽间隙Δu的影响，而从图1和式（1）知，前轮偏转角位移φ直接转换成小车的转弯半径ρ，从而影响小车运行轨迹。
通过上文推导的各式，已经定性分析了几种误差对小车运行轨迹的影响，但很难定量直观看出各误差影响轨迹的大小，因此可以借助计算机软件对小车运行轨迹进行计算仿真来分析各种误差对小车轨迹影响的程度。
利用Matlab数值计算的方式分别对存在上述几种误差的无碳小车进行运动轨迹仿真。以8字形轨迹的无碳小车为例（S形轨迹的仿真结果类似），将两后轮连线中点A（图1）作为小车运行轨迹的计算点。
假设同一零件加工尺寸的误差分布遵循随机分布规律，利用Matlab的随机数生成函数，以生成的最大值为0.08的一组随机数近似代替零件的随机误差，将这个随机数组分别代入上文式（16）、式（17）、式（18），并设定仿真运行的8字圈数为15圈。在其余条件相同的情况下，不存在误差的理想模型和分别存在四种不同随机误差的仿真结果，如图8～图12所示。
图8 理想的无碳小车轨迹仿真图Fig.8 Theoretical Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car
由图8可见，当不存在所述几种误差时，多圈运行（15条）轨迹曲线基本上能重合。图8中轨迹曲线仍存在少量偏移，是由于仿真时输入参数的精度不够高，当将输入参数的精度提高2 倍（推杆长度由24.5mm修改成24.55mm）时，轨迹曲线就近乎完全重合了，如图13所示。
图13 参数精度提高后的小车理论运行轨迹Fig.13 Theoretical Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when the Parameter Accuracy Improved
由图9看，当驱动轮存在径向跳动误差，多圈运行时小车轨迹曲线逐渐偏移，但偏移量不大，运行轨迹的规律性较为明显。
图9 驱动轮存在径向跳动误差时的仿真轨迹Fig.9 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Radial Runout Errors of Driving Wheel Considered
从图10看，当驱动轮存在轴向跳动误差时，多圈运行中小车轨迹曲线出现较为明显的偏移，运行轨迹的规律性变差。
图10 驱动轮存在轴向跳动误差时的仿真轨迹Fig.10 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Axial Runout Errors of Driving Wheel Considered
对图11分析，凸轮矢径有误差时，轨迹曲线存在偏移，但运行轨迹仍可看出一定的规律性。
图11 凸轮存在矢径误差时的仿真轨迹Fig.11 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Radial Vector Runout Errors of Cam Considered
由图12看，凸轮与滑块槽存在明显间隙时，轨迹曲线偏移量最大，运行轨迹的规律性最差。
图12 推杆滚子与滑槽有间隙带来误差时的仿真轨迹Fig.12 The Trajectory Simulation Curve when Angular Displacement Error of Steering Wheel Caused by the Gap between the Cam Slot Wall and Roller Considered
对比图9～图12四幅图，并结合式（16）、式（17）、式（18）分析，可得出：小车驱动轮的轴向跳动误差和凸轮与滑块槽的间隙对小车运行轨迹的影响是最大的，比车轮径向跳动误差及凸轮矢径误差影响都要大，不可忽视。
可取上述几种随机误差中的任一种来检验仿真程序的正确性。
此处选择一对轴向跳动峰值为0.085mm的车轮安装到实际无碳小车上，验证主要存在驱动轮轴向跳动误差时的情况。此时小车轨迹误差值用三坐标测量仪测得的结果，如表1所示。
表1 无碳小车几种随机误差的三坐标测量值Tab.1 The 3 Coordinates Measured Results of Several Random Errors of Carbon-Free Car
在小车上安装LED灯，利用数字摄像头，以25fps/s的速率拍照（一圈约采样120个数据点），经数据处理后获得小车运行10圈左右的散点图，如图14所示。
图14 实际运行的无碳小车轨迹采样散点图Fig.14 The Trajectory Scatter Diagram of Carbon-Free Car from
对比图14与图10，可以看出，小车实际运行的轨迹与之前仿真计算得到的轨迹总体分布是一致的，据此可判断存在驱动轮轴向跳动误差的仿真结果基本上是正确的。由此验证了上文理论分析及仿真计算的正确性。
通过理论计算和分析归纳出对无碳小车运行轨迹影响较大的具有随机性分布特点的4种典型误差。并分别对理论轨迹和具有4种随机误差的轨迹进行了仿真计算分析，结论是：对无碳小车运行轨迹影响最大的是直接控制小车转向的误差，主要来自于推杆滚子与滑槽之间的间隙；
其次是驱动轮的轴向跳动随机误差。因此，为保证无碳小车运行轨迹的正确性，在加工制造中应着重提高这两部分机构的加工精度。这为无碳小车加工制造的优化方向提供了理论依据，具有指导意义。
对小车驱动轮轴向跳动误差的影响进行了实验，验证了仿真分析的正确性。补充说明：由于笔者近两年参加了多次无碳小车竞赛，在长期的调车实践中发现了规律引起的思考与分析，又在后续的反复实践中检验了分析结论。
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