线段垂直平分线的性质 [线段垂直平分线性质在解题中的应用]

时间：2019-01-26 03:27:59　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　线段的垂直平分线（中垂线）的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用，现举例说明，供同学们参考．　　　　一、用于求线段长　　　　例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ的垂直平分线分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．若ＡＢ＝１４，△ＢＣＤ的周长为２２，求ＢＣ的长．
　　分析：由ＤＥ是ＡＣ的垂直平分线，得ＤＡ＝ＤＣ．则ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＤ＋ＤＡ＝ＡＢ＝１４．又ＢＣ＋ＢＤ＋ＤＣ＝２２，故ＢＣ＝２２－（ＢＤ＋ＤＣ）＝２２－１４＝８．（具体证明过程请读者自行完成，下同）
　　
　　二、用于求角的度数
　　
　　例２如图２，ＡＢ⊥ＣＤ于Ｂ，ＡＤ的垂直平分线ＣＦ分别交ＡＢ、ＡＤ于Ｅ、Ｆ，ＥＢ＝ＥＦ，求∠Ａ的度数．
　　分析：由ＣＦ是ＡＤ的垂直平分线想到连结ＤＥ，则ＡＥ＝ＤＥ，故∠Ａ＝∠１．又ＥＢ⊥ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＤ，ＥＢ＝ＥＦ，所以ＤＥ是∠Ｄ的平分线．所以∠１＝∠２．又∠Ａ＋∠１＋∠２＝９０°，即３∠Ａ＝９０°，故∠Ａ＝３０°．
　　
　　三、用于证两线段相等
　　
　　例３如图３，△ＡＢＣ是正三角形，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线相交于Ｄ，ＢＤ、ＣＤ的垂直平分线分别交ＢＣ于Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．
　　分析：因为ＢＤ、ＣＤ的垂直平分线分别交ＢＣ于Ｅ、Ｆ，所以想到用垂直平分线的性质定理．连结ＤＥ、ＤＦ，则ＢＥ＝ＤＥ，ＤＦ＝ＣＦ．由题设易得∠１＝３０°，则∠２＝３０°，∠ＤＥＦ＝６０°．同理，∠ＤＦＥ＝６０°．所以△ＤＥＦ是正三角形，故ＤＥ＝ＤＦ，所以ＢＥ＝ＣＦ．
　　
　　四、用于证线段间的倍分关系
　　
　　例４如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ的垂直平分线分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．求证：ＤＥ＝ＡＣ．
　　分析：因为ＤＥ是ＡＢ的垂直平分线，所以连结ＢＥ，则ＢＥ＝ＡＥ．又∠Ａ＝３０°，故∠１＝∠２＝３０°，所以ＤＥ＝ＣＥ．在Ｒｔ△ＢＥＣ中，由∠２＝３０°．得ＣＥ＝ＢＥ.故ＣＥ＝ＡＥ．所以ＣＥ＝ＡＣ，ＤＥ＝ＡＣ．
　　
　　五、用于证两个角相等
　　
　　例５如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ，过Ｄ作ＡＣ的平行线交ＡＢ于Ｅ，过Ｅ作ＡＤ的垂线交ＢＣ的延长线于Ｆ，连结ＡＦ．求证：∠Ｂ＝∠ＣＡＦ．
　　
　　分析：由ＡＤ平分∠ＢＡＣ，得∠１＝∠２．由ＡＣ∥ＥＤ，得∠２＝∠３．故∠１＝∠３，ＡＥ＝ＤＥ．又ＥＦ⊥ＡＤ，故ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线.所以ＡＦ＝ＤＦ，∠ＡＤＦ＝∠ＤＡＦ．所以∠Ｂ＋∠１＝∠ＣＡＦ＋∠２，故∠Ｂ＝∠ＣＡＦ．
　　
　　六、用于证角与角之间的倍分关系
　　
　　例６如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高，ＡＣ＋ＣＤ＝ＢＤ．求证：∠Ｃ＝２∠Ｂ．
　　分析：因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以应设法使ＡＤ成为某线段的垂直平分线．在ＢＣ上截取ＤＥ＝ＣＤ，连结ＡＥ，则ＡＤ是线段ＥＣ的垂直平分线．故ＡＥ＝ＡＣ，∠Ｃ＝∠ＡＥＣ．由ＡＣ＋ＣＤ＝ＢＤ，得ＡＥ＋ＤＥ＝ＢＤ＝ＢＥ＋ＤＥ．故ＡＥ＝ＢＥ，∠Ｂ＝∠ＢＡＥ．又∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝２∠Ｂ，故∠Ｃ＝２∠Ｂ．
　　说明：例１至例４有个共同点，就是已知条件中都给出了线段的垂直平分线，因此可直接用线段垂直平分线的性质解题．例５、例６的已知条件中虽未直接给出线段的垂直平分线，但也可以通过作辅助线等方法证某线段是另一线段的垂直平分线，再用线段垂直平分线的性质解题．

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