[极值问题错解剖析]极值点偏移问题

时间：2019-05-27 03:24:29　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一、极值定义中的错解，辨析与反思　　例1 函数f(x)在开区间M上只有一个极大值点和一个极小值点，则判断正确的是（）　　 (A) 极大值必大于极小值
　　 (B) 极大值必小于极小值
　　 (C) 在区间M上必有最值
　　 (D) 可能极大值会小于极小值
　　错解:因为函数f(x)在开区间M上只有一个极大值点和一个极小值点，所以必然极大值大于极小值，故选择答案(A).
　　辨析:题目条件中的函数f(x)不一定在开区间M上是连续的，可能是
　　
　　图1以分段函数的形态出现，则情况就出现了变化.可能极大值会大于极小值，也可能极大值等于极小值，也可能极大值小于极小值，所以正确答案是(D).
　　理由如下：答案(A)的反例如图1.
　　答案（B）的反例为图2.
　　
　　
　　图2 图3
　　答案（C）的反例为图3.
　　由（A）、（C）的反例知答案（D）是正确的.
　　反思：若连续函数在开区间M上只有一个极大值点和一个极小值点，则极大值必大于极小值.若函数在开区间M上不连续的话，则极大值和极小值的大小是不确定的.
　　
　　
　　图4练习：如图4，下列说法正确的是（）
　　 (A) 在开区间(a,b)内，函数只有一个极大值点和一个极小值点
　　 (B) 极大值小于极小值
　　 (C) 有一个极大值点，有2个极小值点
　　 (D) 以上答案都不对
　　答案:(C)
　　辩析：极值是局部性概念，只要在函数图象上局部某点最低且在该点附近有定义，则该点为极小值点.反之为极大值点.这与图象在局部是否连续无关.本题图中图象与y轴交点也是一个极小值点.
　　二、求极值问题中的错解，辨析与反思
　　例2 求函数f(x)=3(x2-a2)2(a>0)在(-∞,+∞)内的极值.
　　错解:因f ′(x)=23(x2-a2)-13·2x=4x33x2-a2，由f ′(x)=0得x=0.
　　当x变化时，y,y′的变化情况如表1.
　　因此，当x=0时，y有极大值，并且， y极大值＝3a4.
　　
　　辨析:函数f(x)在x=±a处不可导，并不意味着f(x)在x=±a处没有极值.实际上因为函数f(x)在x=±a处连续，在x=±a处有可能极值存在，因此当x变化时，y,y′的变化情况应该如表2所示.
　　
　　所以y极小值=f(-a)=0,y极大值=f(0)=3a4,y极小值=f(a)=0.
　　反思1:在确定极值时，只讨论满足f ′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值是不全面的.因为在函数定义域内不可导点处也可能存在极值.如上例中：函数f(x)在x=±a处不可导，但是在x=±a处却有极值.实际上，从极值定义分析，极值与可导无关.
　　
　　“碰撞”问题规律探秘
　　
　　
　　湖北省武汉市武昌水果湖高中(430071)  梁依斌
　　“碰撞”问题是高中物理教学中动量守恒定律和能量问题的重点，也是难点，同时又是高考的热点.它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系，能够全方位地考查学生的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力.
　　一、“碰撞”问题的分类
　　下面以两物体的对心碰撞为例加以讨论，设两个小球的质量分别为m1和m2，在同一直线上运动速度分别为v10和v20，设碰撞后，两球还是在该直线上运动，速度分别为v1和v2，则碰撞后两物体的分离速度(v2-v1)与碰撞前两物体的接近速度(v10-v20)成正比.比例系数决定于两物体的材料性质.
　　即 v2-v1=e(v10-v20).
　　通常e称为恢复系数.
　　 1.完全非弹性碰撞（e=0）
　　若两物体碰撞后不再分开，设碰后的速度为v，由动量守恒定律得：
　　 m1v10+m2v20=(m1+m2)v
　　则，两物体碰后共同速度为
　　
　　
　　v=m1v10+m2v20m1+m2
　　损失的动能为：
　　 ΔEk=12m1v210+12m2v220-12(m1+m2)v2
　　 2.非弹性碰撞（0 0
　　
　　ΔE=12(1-e2)m1·m2m1+m2(v10-v20)2
　　 3.弹性碰撞（e=1）
　　由动量守恒定律，得
　　 m1v10+m2v20=m1v1+m2v1
　　由于弹性碰撞总动能不变，即
　　 12 m1v210+12m2v220=12m1v21+12m2v2
　　两式联立得：
　　 v1=(m1-m2)v10+2m2v20m1+m2
　　 v2=(m2-m1)v10+2m2v20m1+m2
　　二、弹性碰撞的特点归纳
　　两物体完全非弹性碰撞后的共同速度为
　　
　　
　　v=m1v10+m2v20m1+m2
　　而两物体发生弹性碰撞后的速度分别为
　　v1=(m1-m2)v10+2m2v20m1+m2
　　 v2=(m2-m1)v10+2m2v20m1+m2
　　根据以上分析，弹性碰撞有如下特点：
　　 (1)对两个弹性小球而言，它们碰前与碰后的速度之和相等，且等于对应完全非弹性碰撞共同速度的两倍，即
　　 v10+v1=2v v20+v2=2v
　　 (2)碰撞前的接近速度等于碰撞后的分离速度，即
　　
　　
　　v10-v20=v2-v1
　　 (3)若两弹性小球的质量相等，则它们碰后交换速度，即若m1=m2，则v1=v20,v2=v10
　　 (4)“动碰静”，即让运动的小球与静止的小球相碰（v20=0），则
　　
　　
　　v1=(m1-m2)v10m1+m2
　　
　　
　　v2=2m1v1m1+m2
　　有如下三情况：
　　 a. 当m1m2时，v1=v20,v2=2v10
　　比如,在交通事故中如果车撞到运动的物体，一般情况下车的质量远大于与其相撞的物体的质量，事故发生后，被撞物体的速度将大致等于撞前车速的2倍.“鸟撞问题”即是如此，飞鸟和飞机相撞前的速度相对飞机速度可忽略，则碰后飞鸟的速度几乎是碰前飞机速度的2倍，因此，飞机对飞鸟做功很大，飞机和飞鸟之间的相互作用力也非常大，从而导致质量很小的飞鸟撞毁飞机的事件.因此，行人一定要注意交通安全.
　　 b. 当m1=m2时，v1=0，v2=v10，即当两球质量相等，碰后碰撞小球静止，而被碰小球获得了碰撞小球碰前的速度，即两球交换了速度.
　　 c.当m1m2时，v1=-v10，v2=0，即小物体在碰撞静止的大物体后，大物体几乎静止不动，而小物体几乎以原速度弹回.如,乒乓球撞墙后、气体分子与容器壁的垂直碰撞、反应堆中中子和重核的碰撞都属于这样的例子.
　　
　　

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