【概率中的“臭皮匠”与“诸葛亮”】三个诸葛亮顶个臭皮匠什么意思

时间：2019-02-21 03:24:24　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　张远南：福建福州人，中学数学特级教师，著名科普作家，曾获全国优秀科技辅导员、苏步青数学教育奖（个人）、国务院特殊津贴奖，现任福建数学会常务理事、福建初等数学研究会常务理事、福建中学数学教学研究会副理事长。
　　
　　常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉．但是，当人们得知这一富有哲理的话语，可以用概率的理论定量地加以证明时，一定都会对此深感意外！
　　为了让同学们确信这一点，我们先介绍一下两个事件的独立性概念：如果一个事件的出现与另一个事件的出现无关，我们就说这两个事件是相互独立的．例如，甲的思维与乙的思维，只要没有预先商讨过，便是独立的；又如两次射击，第一次射击命中与第二次射击命中也是相互独立的．假定我们用AB表示事件A与事件B同时发生，那么当事件A与B互相独立时，我们有：P（AB）=P（A）・P（B）．事实上，这个结论可以从图1直观地反映出来．对于3个以上的两两独立事件，类似地我们有：P（AB…C）=P（A）・P（B）…P（C）．
　　现在回到3个“臭皮匠”的问题．假定“臭皮匠”A独立解决问题的把握为P（A），“臭皮匠”B和C独立解决问题的把握分别为P（B）和P（C）．如果“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，我们用阴影区域的面积表示相应事件的概率（如图2所示）．那么，从图中我们立即看到：
　　P（A或B）=P（A）+P（B）-P（AB）．
　　注意到“臭皮匠”们对问题的思考是各自独立的，这样我们又有：
　　P（A或B）=P（A）+P（B）-P（A）・P（B）．
　　重复使用上面的公式，就能得到一个问题被3个“臭皮匠”之一解决的可能性大小的计算式：P（A或B或C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（C）P（A）+P（A）P（B）P（C）．
　　举个例子来说，若P（A）=0.45，P（B）=0.55，P（C）=0.60，即3人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被3人之一解出的可能为：P（A或B或C）=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901．
　　看，3个并不聪明的“臭皮匠”居然有90％以上的把握解出问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！
　　上面我们是从“臭皮匠”们解题把握的大小来分析的．其实，如果从他们不能解决问题的角度来分析，所得的结果将更简洁、更精辟．事实上，如果某一事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为（1-P）．这样，3个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为［1－P（A）］・［1－P（B）］・［1－P（C）］．用全部可能的1，减去都不能解决的可能性，当然就得到至少有一人解决的可能性，即P（A或B或C）=1－［1－P（A）］・［1－P（B）］・［1－P（C）］．式子展开的结果跟前面的公式是一样的，但计算要简单得多，如上例：P（A或B或C）=1-[1-0.45]・[1-0.55]・[1-0.60]=1-0.55×0.45×0.40=0.901．而且，当“臭皮匠”的人数增多时，这种算法的优势将更加明显，若此时用前一种算法计算将会不胜其烦．
　　又如，10个刚参加军训的学生，每人打靶的命中率都只有0．3，这样的命中率应该说是很低的了．但如果朝同一目标射击，那么根据上面的式子，目标被击中的概率为P=1-（0.7）10≈0.97．也就是说，目标基本上会被击中．可见人多不仅智慧高，而且力量大，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”所言并不过分．

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