三角形\矩形的折叠问题解析|三角形的内接矩形问题
时间：2018-12-24 03:20:42 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
图形的折叠实质上是全等变换，折叠后的图形与原图形是全等的，解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段、等角，这些相等关系是解决问题的关键．这类问题常涉及到平行线、三角形、四边形等基础知识，如全等三角形、等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，勾股定理等，并且常与相似形、二次函数、三角函数、面积等知识沟通起来组合成综合题.解题中要善于发现图形的特点，找出相等的关系，通过推理或列方程来求解.下面就常见的三角形和矩形中的折叠问题举例加以说明.
问题1如图1，将△ABC沿直线DE折叠，得△A′DE．
求证：（1） ∠1＋∠2＝∠B＋∠C；
（2） ∠3＋∠4＝2∠A；
（3） 当∠3＝∠4时，四边形ADA′E是平行四边形；
（4） 当AA′平分∠BAC时，四边形ADA′E是菱形．
证明：（1） ∵△ADE≌△A′DE ， ∴∠A＝∠A′.
∵ ∠1＋∠2＋∠A′＝∠B＋∠C＋∠A＝180°，
∴ ∠1＋∠2＝∠B＋∠C．
（2） 方法一：
∵ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，∠1＋∠2＝∠B＋∠C，
∴ ∠3＋∠4＝360°－2（∠B＋∠C）.
∵ ∠B＋∠C＝180°－∠A， ∴ ∠3＋∠4＝2∠A．
方法二：连结AA′，
∵ ∠3＝∠DAA′＋∠AA′D，∠4＝∠EAA′＋∠AA′E，
∴ ∠3＋∠4＝∠DAA′＋∠AA′D＋∠EAA′＋∠AA′E＝∠DAE＋∠DA′E＝2∠DAE．
（3） ∵∠3＋∠4＝2∠A，∠3＝∠4，
∴ ∠3＝∠A. ∴ AE//A′D.
同理：AD//A′E.
∴四边形ADA′E是平行四边形．
（4） ∵AA′平分∠BAC， ∴ ∠DAA′＝∠EAA′.
∵ DA＝DA′， ∴ ∠DA′A＝∠DAA′，
∴ ∠DA′A＝∠EAA′， ∴ DA′//AE.同理AD//EA′.
∴ 四边形ADA′E是平行四边形.又DA=DA′，
∴四边形ADA′E是菱形.
问题2如图2，沿DE折叠△ABC得△A′DE．
求证：∠1－∠2＝2∠A．
证法一： ∵ ∠1＋∠3＋∠B＋∠C＝360°，
∠B＋∠C＝180°－∠A，
∠3＝180°－∠2－∠A′ ，
∴ ∠1＋180°－∠2－∠A′＋180°－∠A＝360°，
而∠A＝∠A′ ， ∴∠1－∠2＝2∠A．
证法二：连结AA′.
∵ ∠1＝∠DAA′＋∠AA′D，∠2＝∠EAA′＋∠AA′E，
∴ ∠1－∠2＝∠DAA′＋∠AA′D－∠EAA′－∠AA′E＝∠DAE＋∠DA′E .
∵ ∠DAE＝∠DA′E， ∴∠1－∠2＝2∠DAE．
说明这道题由问题1（2）变化而来，问题1（2）题中，翻折后点A′在△ABC的内部，而这道题点A′在△ABC的外部，因此证题思路完全一样．
问题3如图3，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，将△ABC沿AB边上的中线CD折叠后，点A落在点A′处，若CA′⊥AB于E点，求tanA的值．
解∵ CD是Rt△ABC的斜边中线，∴AD＝CD，
∴ ∠A＝∠ACD.
∵△A′CD≌△ACD，
∴ ∠A＝∠A′＝∠ACD＝∠A′CD.
∵ CA′⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＋∠A′CD＝90° ，
即3∠A=90°， ∴∠A＝30°.
∴ tanA＝.
说明这道题要注意直角三角形斜边上的中线的性质的应用，直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形。
问题4如图4，△ABC沿直线DE折叠，若DE//BC，使点A的对应点A′落在BC边上的高AF上，已知BC＝8，AF＝6．
（1） 设DE＝x，S△A′DE＝y，写出y与x之间的函数关系；
（2） 设△A′DE与△ABC重叠部分的面积为p，写出p与x之间的函数关系．
解（1） ∵ △ADE≌△A′DE ，
∴ AG＝A′G，S△A′DE＝S△ADE＝y.
∵ DE//BC， ∴△ADE∽△ABC，
∴ AG∶DE＝AF∶BC＝6∶8，∴ AG＝x，
∴ y＝DE•AG＝x2.
（2） ①当0＜x≤4时，
△A′DE与△ABC重叠部分就是△A′DE，
∴ p＝y＝x2.
② 当4＜x≤8时，
如图5，△A′DE与△ABC重叠部分是梯形DENM，A′F＝A′G－GF＝AG－（AF－AG）＝2AG－AF＝x－6，GF＝6－x．
∵ △A′MN∽△A′DE，而△ADE≌△A′DE，
∴ △A′MN∽△ADE. ∴ A′F∶MN＝AG∶DE＝6∶8，∴ MN＝（x－6）＝2x－8，
∴ p＝（MN＋DE）•GF＝（2x－8＋x）（6－x）＝－x2＋12x－24．
说明由于A′的位置不同，重叠部分的情形也不同，因此必须分类加以讨论.
问题5如图6，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A落在点A′处，点B落在点B′处．若∠A′ED＝40°，则∠BFE＝°．
解由折叠知∠BFE＝∠B′FE，又∵ A′E//B′F，
∴ ∠A′ED＋∠DEF＋∠B′FE＝180°．
若设∠BFE＝α，则40°+α+α＝180°．
∴ α＝70°，即∠BFE＝70°．
说明本题还可以运用平行线的性质先证得∠A′ED＝∠B′FC，再求得∠BFE＝70°．
问题6如图7，将矩形ABCD沿直线EF折叠，
若点B与点D重合，AB＝4，BC＝8，求AE的长．
解设AE＝A′E＝x，则DE＝8－x，
在Rt△A′DE中，A′E2＋A′D2＝DE2，
则x2＋42＝（8－x）2
解得x＝3．即AE＝3．
说明本题运用方程思想来解决几何问题．在此图形中，四边形ABFE沿EF折叠得到四边形A′DFE，所得到的五边形A′EFCD是以BD为对称轴的轴对称图形，其中△DEF是等腰三角形，△A′DE≌△CDF．
问题7如图8，将矩形ABCD沿直线AC折叠，AB＝2，BC＝2，求重叠部分△ACE的面积．
解在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，
∴ tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝30°.
∵ △ABC≌△AB′C，
∴ ∠ACB′＝∠ACB＝30°. ∴∠ECD＝30°.
在Rt△CDE中，DE＝CD•tan∠ECD＝2×＝．
∴ S△ACE＝S△ACD－S△CDE＝×AD×CD－×CD×DE
＝×2×2－×2×＝．
说明本题中，若过E点作FE⊥AC于F点，则△AB′E、△CDE、△AEF、△CEF是四个全等的直角三角形，重叠部分△ACE的面积等于△CDE面积的2倍．若连结DB′，则四边形AB′DC是等腰梯形．
问题8如图9，矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．
解过B′作B′P⊥CD交AE于P.连接BP.
由翻折知，EB′=EB，∠B′EP=∠BEP，
又EP公用，∴△PB′E≌△PBE，
∴ PB′=PB. ∴点P即是符合要求的点.
∵ B′P//CB， ∴∠B′PE=∠BEP=∠B′EP，
∴ B′E=B′P， ∴ BE=B′E=B′P=PB.
∴四边形B′EBP是菱形.
∵ AD＝4，AB′=AB=5，∴DB′=3，CB′=2.
设BE=x，则EB′=x， CE=4-x.
在Rt△CEB′中，x2=（4-x）2+22，
解得x=．即BE=. ∴此相等距离为.
练习
1. （2010年江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 ．
2. （2010年江苏扬州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为．
3. （2010年江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．
4. （2010年江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
（1） 如图②，若M为AD边的中点，
① △AEM的周长＝cm；
② 求证：EP＝AE＋DP；
（2） 随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A，D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
答案1． 322． 33．4． （1） ① 6． ② （图略）取EP中点G，连接MG． 梯形AEPD中， ∵ M，G分别是AD，EP的中点， ∴ MG=（AE+DP）．由折叠得∠EMP＝∠B＝９０°，又G为EP的中点， ∴ MG=EP. 故EP＝AE＋DP． （2）△PDM的周长保持不变．证明：如图，设AM＝xcm，Rt△EAM中，由AE2＋x2＝（4－AE）2，可得：ＡＥ＝２－x2． ∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠PMD＝90°， ∴∠AEM＝∠PMD．又∵∠A＝∠D＝90°， ∴△AEM∽△DMP． ∴=，即=， ∴ C△DMP=×（４＋x）=8cm．故△PDM的周长保持不变．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
