关于圆锥曲线"中点弦"问题的思考 圆锥曲线中点弦公式
时间：2019-01-19 03:24:52 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
[摘要] 本文将重点阐述在圆锥曲线中利用代点相减法、设而不求的思想来解决中点弦及相关问题。 [关键词] 方程 中点弦 相交 随着教育改革的推进，高中数学内容不断地扩充完善，高考数学的内容上也有了调整，但是整个高考的重点指向没有改变。解析几何中的中点弦问题仍是高考的一个热点，用一般解法不仅过程繁琐，而且运算量大容易出错，而点差法解决该类问题既可以降低解题的运算量，又可优化解题过程。因此本文将从以下几点来谈点差法在中点弦问题中的应用。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1、过椭圆内一点M（1，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
解：设直线与椭圆的交点为A（），B（），M（2，1）为AB的中点，
所以，，
又A、B两点在椭圆上，则，，
两式相减得，
所以，即，
故所求直线方程为，即
变形1、已知双曲线，试判断过是否存在直线，使与双曲线交于， 两点，且是线段的中点.
解：假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，
又，（1），（2）
得：，
的斜率
又直线过三点，的方程为 ，即.
但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在
二、弦中点的坐标问题
例2、求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
解：设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，两式相减得，
所以，
所以，即，，即中点坐标为。
变形2、若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
解：设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）
得：，
又，.
中点在直线上，
，于是.
中点在抛物线区域内
，即，解得.
综上可知，所求实数的取值范围是.
三、弦中点的轨迹方程问题
例3、过椭圆上一点P（-4，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹程。解：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），
则有，
两式相减得，
又因为，，所以，
所以，而，
故。
化简可得（）。
由以上实例可以看出，点差法在中点弦问题中的应用是十分灵活的，不同的问题需要做不同的变换处理。但是利用直线与圆锥曲线的交点，代点相减法、设而不求法思想不会改变；同时再结合韦达定理做适当的变形，相关问题都能解决。由于该方法在一定程度上优化了解题过程，减少了运算量，缩短了解题时间，因此是高考完成此类问题的首选方法。
参考文献
[1]梁兆振.数学优化探究.北京：中国书籍出版社，2010
[2]刘连璞.平面解析几何方法与研究.北京：北京大学出版社，1999
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