【给出数量关系的几种常用方式】 常用的数量关系式
时间：2019-01-26 03:30:19 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
用方程或不等式的知识解答一些实际问题是中考命题的重点和热点,因为这样的题目能考查同学们以方程与不等式的知识为载体进行数学建模的能力,这样的题目对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力具有重要的教学价值. 用方程与不等式的知识解答问题的关键是通过分析题意,找到题目所蕴涵的数量关系(等量关系或不等量关系)而给出数量关系的方式是多种多样的. 本文结合2009年的中考题就给出数量关系的几种常用方式归纳如下,以期对教师们有效的指导学生进行复习起一点导向作用. 1 直接用语言文字给出
例1 (江苏省南充)在达成铁路复线工程中,某路段需要铺轨. 先由甲工程队独做2天后,再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务. 已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天,求甲、乙工程队单独完成这项任务各需多少天?
分析:我们知道列方程解应用题中最关键的一步,是怎样在题目中正确地“找出能够表示应用题全部含义的相等关系”来. 本题中的等量关系是:
(1)甲工程队独做2天后,再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务;
(2)乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天.
我们可以根据等量关系(2)设出未知数,再根据(1)得到方程,然后解答.
解 设甲工程队单独完成这项任务需用x天,则乙工程队单独完成这项任务需用(x+2)天. 根据题意,得[SX(]2[]x[SX)]+[SX(]3[]x+2[SX)]=1,化为整式方程得x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.
检验:当x=4或x=-1时,x(x+2)≠0,所以x=4和x=-1都是原分式方程的解.
但x=-1不符合实际意义,故x=-1舍去.
所以乙工程队单独完成这项任务需用x+2=6(天).
答:甲工程队单独完成这项任务需要4天,乙工程队单独完成这项任务需要6天.
点评 这是一道常见的列方程解应用题问题. 给定等量关系的方式也是最为直接的叙述方式,解答的关键是通过解读题目给定的条件(关系),理解题意,在此基础上,直接列方程解答即可. 这样的题目对于培养学生分析问题,灵活运用方程的知识进行数学建模的能力都是非常有益的. 2 用表格的形式给出
例2 (山东省济南)自2008年爆发全球金融危机以来,部分企业受到了不同程度的影响,为落实“促民生、促经济”政策,济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案,调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数). 下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息:
(1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元?
(2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元,那么丙该月至少应销售多少件产品?
分析:通过仔细阅读,我们可得到题目直接给出的两个等量关系:
月工资=基本保障工资+计件奖励工资;奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数.
这两个等量关系是计算每个职工收入的公式.
本题中用于列方程组的主要等量关系是由表格给出的,认真分析表中的数据,可以得到下面的两个等量关系:
甲的月收入1800=甲的月基本保障工资+甲得到的奖励工资………①
乙的月收入1700=乙的月基本保障工资+乙得到的奖励工资………②
根据这两个等量关系可以直接列出方程组来. 需要注意的是所有职工的月基本保障工资都是一样的. 若设职工的月基本保障工资为x元,销售每件产品的奖励金额为y元,
则由①得到x+200y=1800;由②得到x+180y=1700. 联立这两个方程构成方程组.
解 (1)设职工的月基本保障工资为x元,销售每件产品的奖励金额为y元,
答:职工月基本保障工资为800元,销售每件产品的奖励金额5元.
(2)设该公司职工丙六月份生产z件产品,
由题意得800+5z≥2000,解这个不等式得z≥240
答:该公司职工丙六月至少生产240件产品.
点评 解答本题的关键是通过分析表格中的数量关系,结合题目给定的“月工资分配方案”得到下面的两个关系式子:甲的月收入1800=甲的月基本保障工资+甲得到的奖励工资;乙的月收入1700=乙的月基本保障工资+乙得到的奖励工资. 类似这样的题目对于培养学生的阅读分析能力及发现问题的能力都是有益的,中考题中也常出现这样的题目,这就启发我们教师在教学中应采取灵活多样的方式告诉学生题目的条件. 3 用图形的形式给出
例3 (山东省潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.
(1)设计方案如图①所示,矩形P、Q为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的[SX(]1[]4[SX)],求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽.
分析 (1)仔细观察图①所示的设计方案可以发现,绿化完矩形P、Q后,在矩形ABCD的左右方向上,有3块硬化路面,在上下方向上有2块硬化路面. 这是列方程的关键. 绿化完矩形P、Q后,可以将矩形Q向P靠拢,使其拼成一个矩形(二者不能有重合部分),如图③所示,这样一来形成的绿地就是一个矩形,其长和宽可根据硬化路面的宽求出. 如果设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,则绿地矩形的长为(60-3x),宽为(40-2x). 由此可以得到其面积为(60-3x)×(40-2x).
这个解是符合实际的. 所以设想成立,此时,圆的半径是10米.
点评 用图形给出题目中的一些数量关系,直观明了,比直接用叙述的方式更能考查学生的数学能力,这样的给出方式突出了对数形结合思想的考查,比单纯的让学生列方程解答问题有意义,并且对于培养学生的空间观念也是非常必要和及时的. 4 用混合的形式给出
例4 (浙江省温州)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.
②按两种纸盒生产个数来分,有哪几种生产方案?
(2)若有正方形纸板162张,长方形纸板a张,做成上述两种纸盒,纸板刚好用完. 已知290 分析 (1)本题的数量关系是由图形和文字叙述方式共同给出的. 从甲、乙图形可以看出:一个竖式纸盒需要4张长方形纸板,1张正方形纸板;一个横式纸盒需要3张长方形纸板,2张正方形纸板. 根据这些关系,结合给定纸板的张数及所做纸盒的个数可以得到表格中空白地方的解答. 在解答完①后,表格中的等量关系又成了解答②的基础. 可以根据①的解答列出不等式组来.
解得38≤x≤40.
又因为x是整数,所以x=38,39,40.
答:有三种方案:生产竖式盒38个,横式盒62个;生产竖式盒39个,横式盒61个;生产竖式盒40个,横式盒60个.
(2)293或298或303(写出其中一个即可).
点评 解答本题的关键是根据图形发现:一个竖式纸盒需要4张长方形纸板和1张正方形纸板;而一个横式纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板. 这样的题目对于培养学生的观察能力、分析判断能力是有积极意义的. 也体现了课程改革的方向.
从以上几例可以看出,用方程或不等式的知识解答实际问题的关键是找到题目给出的数量关系. 这样的题目一般来说,文字材料比较长,给定的方式又是多种多样的,所以教师应引导学生仔细阅读,细心领会其题意,运用相关的知识和方法去观察、分析、抽象、概括所给定的实际问题中的关键词语以及相关的已知量与未知量之间的关系,从而用有关知识建立数学模型,达到解决问题的目的. 长期经过这样的训练,同学们的数学素质将会得到极大的提高.
作者简介:孙永春,男,1963年2月生,中学高级教师. 主要研究初中数学教育. 发表论文30余篇,多次在省市县举行公开课. 山东省优秀教师,山东省教学能手.
