灵活巧用线段垂直平分线性质线段垂直平分线的性质

时间：2019-01-06 03:32:58　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线. 关于线段垂直平分线，它具有如下重要的性质：　　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 　　灵活巧用它，可帮我们迅捷地解答一些求值和证明问题.
　　一、求值问题
　　例1 如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数等于______.
　　
　　分析：不难发现，∠AEC＝180°－∠CED．又∠EDC＝90°，则∠CED＝90°－∠C．这样，求∠AEC的关键在于求∠C.
　　解：由AD是BC的垂直平分线，得EB＝EC．
　　∴ ∠C＝∠EBC.
　　∵ BE平分∠ABC，
　　∴ ∠EBC＝1/2∠ABC＝25°.
　　∴ ∠C＝25°.
　　∵ ∠EDC＝90°，
　　∴ ∠CED＝90°－∠C＝65°．
　　∴ ∠AEC＝180°－∠CED＝115°．
　　例2 如图，△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，交AC边于点E，交BC边于点D，且AE＝3，△ABD的周长为13，则AB＋BC＋AC＝（）.
　　（A）16（B）19（C）22（D）25
　　
　　分析：依题意，点E是AC的中点，则AC＝2AE＝6.要求AB＋BC＋AC的值，只需再求AB＋BC的值．
　　解：由△ABD的周长为13，得AB＋BD＋AD＝13．
　　∵ DE是AC边的垂直平分线，
　　∴ AD＝CD.
　　∴ AB＋BD＋CD＝13.
　　∴ AB＋BC＝13.
　　∵ 点E是AC边的中点，
　　∴ AC＝2AE＝6.
　　∴ AB＋BC＋AC＝19.
　　二、证明问题
　　例3 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，点E是垂足，交BC的延长线于点F. 求证：∠B＝∠CAF．
　　
　　分析：显见，∠BAD＝∠CAD．要证明∠B＝∠CAF，应考虑将∠B和∠CAF转化为与∠BAD或∠CAD有关的角．
　　证明：由EF垂直平分AD，得FD＝FA．
　　∴ ∠FDA＝∠FAD．
　　∵ AD为∠BAC的平分线，
　　∴ ∠BAD＝∠CAD．
　　∵ ∠B＝∠FDA－∠BAD，∠CAF＝∠FAD－∠CAD，
　　∴ ∠B＝∠CAF．
　　例4 如图，AD⊥BC于点D，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，点E在BC的延长线上. 求证：AB＋BD＝DE．
　　
　　分析：注意到DE＝EC＋CD，要证明AB＋BD＝DE，只要证明AB＋BD＝EC＋CD. 又BD＝CD，那么只要证明AB＝EC.
　　证明：由AD⊥BC，BD＝CD，得AD是BC的垂直平分线.
　　∴ AB＝AC.
　　∵ 点C在AE的垂直平分线上，
　　∴ AC＝EC．
　　∴ AB＝EC.
　　∵ BD＝CD.
　　∴ AB＋BD＝EC＋CD.
　　∴ AB＋BD＝DE.
　　

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