巧数正方形图形的方法巧拼正方形图形

时间：2019-02-06 03:24:59　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　2002年8月，在北京召开的国际数学家大会的会标如右图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个正方形图形，此图实际上是我国汉代数学家赵爽用图验法――面积证法证明勾股定理的图形．
　　下面编选了一组与勾股定理有关的剪拼正方形图形的趣题，期望能借此激发或加深同学们学习几何的兴趣．
　　例1有一张长为5宽为1的矩形纸片，请你将它剪成五块，再拼成一个正方形，画图表示．
　　分析：因为正方形面积是5个平方单位，所以边长是，于是只需作出长为的线段即可．怎么分割矩形呢？联想到，
　　问题就迎刃而解了．
　　解：将矩形纸片分割成如图1（1）所示的五块，其中正方形的边长为1，直角三角形的边长分别为1，2，．即所求正方形的边长．
　　正方形拼图如图1（2）．
　　例2已知两个正方形面积的比是1�4，经分割后，再拼成一个大正方形，画图表示．
　　解：如图2（1），将大正方形分割成四个全等的直角三角形，两直角边长分别是1，2，斜边长为，即所求正方形边长．
　　大正方形拼图如图2（2）．
　　图2（1）图2（2）
　　例3一张“工”字形的纸片由八个小正方形组成，问沿着怎样的直线剪两刀，将其分成三块，才能拼成一个正方形，画图表示．
　　分析：正方形面积是8个平方单位，其边长为．怎么分割呢？联想到等腰直角三角形，即边长为2的正方形的对角线长，有助于我们找到解题思路．
　　解：作边长为2的两个正方形的对角线，将工字形纸片分割成三块，如图3（1），此时对角线长就是所求正方形的边长，即＝．
　　正方形的拼图如图3（2）．
　　例4一张“T”字形的纸片由八个小正方形组成，剪两刀使剪开的部分恰好拼成一个正方形，画图表示．
　　分析：要拼成正方形，必须把凹凸部分补平，从此特点来思考找办法．有两种分割方法．
　　解法一：把图中的左上角的顶点与右下角的顶点连接成线段，再过右上角顶点作垂线与之相交，所得线段的长就是所求正方形的边长，这样剪两刀分成五块，如图4（1）．
　　正方形的拼图如图4（2）．
　　解法二：把图中的左上角的顶点与右下角的顶点连接成线段，再作从左至右数第二个小正方形的对角线，这样剪两刀，分割成四块，如图4（3）．
　　正方形的拼图如图4（4）．
　　评注：解题关键是从图中找长为的线段，而图中下方是边长为2的正方形，它的对角线长为，作它的对角线并延长与左上角顶点相交．如果从右边第一个小正方形作对角线并延长与之相交，就把图形分割成五块，即得解法一．如果从左至右数的第二个小正方形作对角线，这样就把图形分割成四块，即得解法二．
　　例5图5是由边长分别为a，b的两个正方形组成的图形，把它剪成三块，拼成一个正方形，画图表示．
　　解：在EF边上取一点B，使EB＝a，BF＝b，连接AB，BC，得到两个直角边长分别为a，b，斜边为c的全等直角三角形，c即所求正方形的边长．这样剪两刀分割成三块，如图5（1）．
　　大正方形的拼图为ABCD，如图5（2）．
　　评注：这是证明勾股定理的一种构图．边长分别为a，b的两个正方形的面积和为a2＋b2，而所求大正方形的面积为c2，所以，a2＋b2＝c2，从而证得勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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