事半功倍_整体思考,事半功倍
时间：2019-01-07 03:22:28 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
同学们学习了勾股定理以后,某些涉及直角三角形的边或面积问题,运用乘法公式的变形及整体思想进行整体处理,常能收到事半功倍之效 举例说明如下: 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边分别为a,b,斜边c=13,S=30,求a+b的值
分析:视a+b为一个整体,先根据乘法公式、勾股定理求出a+b的平方值,然后开平方,从而可使问题得以整体求解
解:∵ S=ab=30,
∴ ab=60.
而(a+b)2=a2+b2+2ab,a2+b2=c2(勾股定理),
∴ (a+b)2=c2+2ab=132+2×60=289.
∴ a+b==17.
评注:若由条件得ab=60,a2+b2=169,通过解这个方程组先求出a、b,再计算a+b的值,则是不明智的选择,并且这个方程组对于八年级学生而言是不能求解的
例2 已知直角三角形的周长为22,斜边长为8,求该直角三角形的面积
分析:考虑S=ab(a,b为两直角边长),所以求该直角三角形的面积,只需整体求出ab的大小即可
解:设有Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边分别为a,b,斜边为c,
依条件有:a+b+c=21,c=8.
∴ a+b=14.
从而(a+b)2=142,即a2+b2+2ab=196.
又由勾股定理,得a2+b2=c2,
∴ c2+2ab=196,即82+2ab=196.
∴ ab=66.
因此S=ab=×66=33.
评注:此题常规解法是先根据条件求出两直角边的长,再计算面积 这需解由c=8、a+b+c=21,a2+b2=c2组成的方程组,无疑给计算增加了难度
例3 四年一度的国际数学大会在北京召开时,大会会标如右图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形 若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积
分析:设其中的一个直角三角形的两直角边为a、b(a>b),斜边为c,则小正方形的边长为a-b,求小正方形的面积,即是求(a-b)2,这利用乘法公式、勾股定理及条件可整体求出
解:因为大正方形的面积为13,即c2=13.
由勾股定理得a2+b2=c2=13,
又a+b=5,所以a2+b2+2ab=25
∴ 13+2ab=25, 所以2ab=12,
因此(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1.
即小正方形的面积为1
评注:此题若试想先通过a+b=5,a2+b2=13求出两直角边a,b,再计算其面积,仍然是笨拙之举
