[让抽象函数问题不再抽象]抽象函数问题

时间：2019-05-28 03:32:28　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　抽象函数是指没有具体的函数解析式，只给出某些性质（如单调性、奇偶性、递推关系式等）的函数．抽象函数问题概念抽象、灵活性强、综合程度高，对同学们的逻辑思维能力要求较高，经常出现在高考中，如2011年高考数学辽宁卷（理科）第11 题、2011年高考数学陕西卷（理科）第3题、2009年高考数学浙江卷（理科）第10题等．如何让抽象函数问题不再抽象？今天，我们就来简单地讨论这个问题．
　　例已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且f（x+2）［1-f（x）］＝1+f（x），f（1）＝-1，则f（2011）的值为
　　（A） -1+ （B） 1- （C） 1+ （D） -1-
　　分析： ∵ f（x+2）=， f（1）=-1，∴ f（3）=+1， f（5）=--1， f（7）=1-， f（9）=-1， f（11）=+1，…. 由f（9）=-1=
　　f（1），f（11）=+1=f（3），…，我们发现f（x）的周期恰好为8，由此可得f（2011）=f（251×8+3）=f（3）=+1．但这种解法缺点明显，一是需要通过大量计算寻找抽象函数的性质，二是没有强有力的证明过程证明答案的正确性．
　　其实，许多抽象函数都是以特殊函数为背景抽象而成的，如果我们能找到其对应的背景函数，就能更快更有效地解决问题．对于f（x+2）=，如果我们联想到tan+x=，就会发现两者结构相似. 由y=tanx的周期T=π=4×，我们可以猜想 f（x）也有可能是周期函数，且周期T＝4×2=8．这种背景函数模型化的思考，无疑为我们指明了解题方向．
　　解：由条件可知f（x+2）=， ∴ f（x+4）=f［（x+2）+2］===-， f（x+8）=f［（x+4）+4］=-=-=f（x）， ∴ f（x）是以8为周期的周期函数， f（2011）= f（251×8+3）=f（3）==+1．选C．
　　从例题可以看出，利用特殊化思想是解决抽象函数问题的一个重要手段. 如果我们能够对抽象函数的特征进行观察、分析、类比和联想，找到具体的背景函数，再根据背景函数的图象和性质解题，常常能柳暗花明、事半功倍．
　　以下是一些常见的抽象函数及其背景函数模型，同学们应力求掌握．
　　【练一练】
　　1 已知函数f（x）对一切实数x,y满足f（0）≠0，f（x+ｙ）＝f（x）f（ｙ）. 当ｘ＜0时，f（x）＞1，则当ｘ＞0时， f（x）的取值范围是．
　　2 已知函数f（x）在R上单调递增且为奇函数，数列｛ａｎ｝是等差数列，a3>0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值
　　（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）可正可负
　　3 已知函数f（x）的定义域为R，对一切实数x，y都有f（x+ｙ）＝f（x）+f（ｙ）-1，且f-＝0. 当ｘ＞-时，f（x）＞0．
　　（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
　　（2）讨论f（x）的单调性，并证明你的结论．
　　
　　【参考答案】
　　1 （0，1）. （令f（x）=ax （0＜ａ＜1））
　　2 A. 解析：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ． ∵ f（x）在R上单调递增且为奇函数， ∴ f（-2d）+f（0）+f（2d）=0， f（a3）>0＝f（0）． ∵ a3-2d>-2d，a3+2d>2d， ∴ f（a3-2d）>
　　f（-2d）， f（a3+2d）>f（2d）． ∴ f（a1）+f（a3）+f（a5）=f（a3-2d）+f（a3）+f（a3+2d）>f（-2d）+f（0）+f（2d）=0.
　　（或设一个满足条件的背景函数f（x）=x，则f（a1）+f（a3）+f（a5）=a1+a3+a5=3a3 >0）
　　3 解析：由题意可知，一次函数y=2x+1是一个满足题设的具体函数，由此猜想抽象函数f（x）是非奇非偶函数，且在R上单调递增．
　　（1）由f（0+0）=f（0）+f（0）-1解得f（0）=1， ∴ f（x）不是奇函数. 又f-=0，由f（0）=f-=f+f--1=f+0-1=1解得 f=2≠f-， ∴ f（x）不是偶函数． ∴ f（x）是非奇非偶函数．
　　（2）任取x1，x2∈R且x10， ∴ x2-x1->-． ∵ 当x>-时， f（x）>0，∴ fx2-x1->0， ∴ f（x2）>f（x1），即f（x）在R上单调递增．

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