三角形内角和 [再谈“三角形内角和是180°”的证明及其他]

时间：2019-04-10 03:19:13　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　在小学数学教学中，“三角形内角和是１８０°”是否有必要用演绎推理的方法进行证明？小学生是否有可能进行证明？“长方形”应该怎样定义？小学教学中要不要给出长方形的定义？本刊发表两篇观点不同的文章，欢迎读者就这些问题及其他教学热点问题来稿进行讨论。
　　拜读了《教学月刊·小学版（数学）》2012年1～2期戎松魁老师的《也谈“三角形内角和是180°”的证明》一文后，笔者对戎老师对数学问题本质的追问、严谨治学的态度肃然起敬。正如张奠宙教授所说：“数学教育研究没有数学，有点数学，却数学错误连连，这岂不是本末倒置吗？”戎老师在这方面为小学数学教师教学研究价值取向的引领做了一个很好的示范。然而，对于文章中的有些问题笔者还是要与戎老师较较真，请戎老师和其他老师指正。
　　一、 “长方形内角和360°”是由定义得到的
　　戎老师提出了“长方形的内角和是360°是怎么得到的”这一问题。
　　文中，戎老师把长方形定义为“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”，而据此定义要证明长方形的内角和是360°要用到“平行线的性质”。但是“平行线的性质”又是初中内容，故而小学生“论证过程中不好应用”。
　　诚如戎老师所述，小学生想要证明长方形内角和是360°似乎已是“山穷水尽”。然而，问题又恰恰出在长方形的定义上。《辞海》有权威解答：
　　【长方形】见矩形
　　【矩形】四个角为直角的四边形
　　此定义简洁明了易懂。根据此定义很容易回答戎老师的问题。“长方形内角和是360°”是由定义得到的，是不证自明的。另外，由张奠宙教授主编的《小学教学研究》第２７５页也有相同的解释，请读者自查。
　　二、一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形
　　戎老师提出了另一个问题：“两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形？”
　　正如戎老师论述的：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形时，已经应用了直角三角形的内角和是180°这个结论了。”
　　对此，笔者认为可以对原命题做如下的改进，改为：“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形。”
　　“直角三角形内角和是180°”这一命题的证明思路如下：一个长方形可以分成两个完全一样的三角形 → 一个长方形的内角和是360°→ 一个直角三角形的和是180°。接下来的问题结症是如何证明“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形”。
　　如图，对角线AC把长方形ABCD分成两个直角三角形。AD=BC，DC=AB，而AC是公共边，根据全等三角形，三边相等则两个三角形全等。即三角形ABC和三角形ADC全等。所以一个长方形是可以分成两个完全一样的三角形的。当然，这里借助初中全等三角形的证明，小学生或许能理解这样的解释，但不会求证。但是，换个角度，根据小学生已学的三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度固定，三角形的形状和大小就固定不变了。从这个角度思考，三角形ABC和三角形ADC因三边长度固定，其大小形状也就完全一样了。接下来，按前面提到的思路，即证得“直角三角形内角和为180°”，这里不再赘述。
　　三、教学目标的设定因人而异，“我的课堂我做主”
　　文中戎老师提到“有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，这样做有时真的会弄巧成拙”。
　　确实在实际教学中有这样的现象，但是，教师也不可固步自封，不敢越雷池一步。正如戎老师说“有时会……”那么请问“有时”又会怎样？是不是可以理解成有时也会“锦上添花”？如照此推理，拔高要求本身无过错，关键是在什么情况下可以拔高与怎样拔高（当然也包括降低）了。
　　笔者可能是咬文嚼字了，但令笔者感到奇怪的是：大家都认为教育不是工厂生产，不要一个模子，但涉及具体教学时，教学目标又是如此规矩和统一，几无分层要求。一方面，说要根据学生的具体学情来制定教学目标，另一方面，执教者（尤其是公开课）连学生的基本情况都不清楚，就粉墨登场，“一招鲜，吃遍天”；一方面，听闻美国的基础教育比我国的简单很多，另一方面，又听闻新加坡基础教育很好，据说这与他们的教材难度要高于我国很有关系。众说纷纭，莫衷一是。
　　事实上，苏霍姆林斯基在他的著作《给教师的建议》第70条“要敢于鼓励学生‘超大纲’”提到：“必须让那些天赋高、有才能的学生在他们有能力的那些学科上和创造性活动的领域里超越教学大纲的界限。”“如果教师引导最有才能的学生超出教学大纲的范围，那么集体的智力生活就会变得丰富多样，从而影响到最差的学生也不甘落后。”
　　笔者认为，教师既不可盲目迷信专家之说，也不可随意而为。但有一点，自己的课堂一定要有自己的教学思想，一定要有自己的教学主见，一定要有教学的主动权。当然，这一切都是以提高自身的专业素养和基于学生学情为前提的。“我的课堂我做主”，一线教师应该要有这个魄力与胆量。
　　以上，是笔者的一些看法，言语或有偏激，但也是实话实说。如有不当之处，请大家批评指正，谢谢！
　　（浙江省绍兴县华舍街道蜀阜小学　312033）

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